Bernoulli Experiment < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll eine Facharbeit über das Bernoulli Experiment und BinomialVerteilung schreiben habe jedoch keine ahnung von dem Thema. Wäre sehr hilfreich wenn mir wer das Bernoulli Experiment gut verständlich erklären könnte und was es mit der Binomialverteilung auf sich hat. Eventuell ne Herleitung von der Formel.
Vielen Dank im vorraus
Kristian
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DaS hatte ich auch gefunden nur habe gehofft, dass mir das jemand in eigenen Worten erklären könnte sodass es verständlich wäre. Zum Beispiel das mir wer die Formel erklären könnte was was ist und wie man zu dieser formel gekommen ist
Thx im vorraus
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Hallo Speedy!
Ich finde es zwar nicht so gut, dass Du damit hier ins Forum kommst, weil man bei einer Facharbeit ja auch ruhig mal ein bisschen Zeit investieren kann, um Begriffe und Formeln nachzulesen (auch in Nicht-Schulbüchern) und gerade zur Binomialverteilung Unmengen von Informationen zur Verfügung stehen. Aber im Hinblick auf einen Eintrag in der Mathebank bemühe ich mich mal um eine geeignete Erklärung.
Der Ausgangspunkt ist wie folgt: Es wird $n$ Mal ein- und dasselbe Zufallsexperiment durchgeführt, bei dem lediglich von Interesse ist, ob ein bestimmtes Ereignis ("Erfolg") eingetreten ist oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses sei (jedes Mal) $p$, und man nimmt an, dass die Ausgänge der einzelnen Experimente sich gegenseitig nicht beeinflussen. Beschreibt die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Erfolge unter diesen $n$ zufälligen Versuchen, so ist $X$ binomialverteilt mit Parametern $n$ und $p$.
Beispiele:
Anzahl des Ereignisses "Kopf" beim zwanzigfachen Wurf einer fairen Münze ($n=20,p=1/2$)
Anzahl des Ereignisses "Augenzahl 5 oder 6" beim zehnmaligen Wurf eines fairen Würfels ($n=10,p=1/3$)
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $k$ annimmt [mm] ($k=0,1,\ldots,n$), [/mm] lautet
[mm] P(X=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}.[/mm]
Diese Formel ergibt sich aus den obigen Annahmen so: Ist die beobachtete Anzahl der Erfolge gleich $k$, so ist das interessierende Ereignis genau $k$ Mal und demnach das Gegenereignis genau $n-k$ Mal eingetreten. Da die Ereignisse der einzelnen Experimente stochastisch unabhängig auftreten (keine gegenseitige Beeinflussung), wird insgesamt $k$ Mal die Wahrscheinlichkeit $p$ und $n-k$ Mal die Wahrscheinlichkeit $1-p$ multipliziert. So erklärt sich der Ausdruck
[mm]p^k(1-p)^{n-k}.[/mm]
Dieses Ergebnis erhält man bei Betrachtung einer ganz bestimmten Folge von Erfolgen und Misserfolgen (z.B. die ersten $k$ Versuche Erfolg und anschließend $n-k$ Mal Misserfolg). Da es aber unwichtig ist, wann die $k$ Erfolge eintreten (es ich nur wichtig, dass sie eintreten), muss man noch die Anzahl der Möglichkeiten berücksichtigen, die $k$ Erfolge unter den $n$ Versuchen zu platzieren. Dafür gibt es gerade [mm] ${n\choose k}$ [/mm] Möglichkeiten (s. Binomialkoeffizient). Da das Ereignis [mm] $\{X=k\}$ [/mm] gerade die Vereinigung aller möglichen Folgen mit $k$ Erfolgen darstellt, addiert man die Wahrscheinlichkeit [mm]p^k(1-p)^{n-k}[/mm] insgesamt [mm] ${n\choose k}$ [/mm] Mal, woraus sich die oben stehende Formel ergibt.
Der Binomialkoeffizient
[mm]{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
gibt die Anzahl von Möglichkeiten an, aus einer Menge von $n$ Elementen genau $k$ Elemente ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu entnehmen. Die Formel erklärt sich wie folgt. Beim $k$-maligen Ziehen ohne Wiederholung gibt es
[mm]n\cdot(n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}[/mm]
verschiedene Möglichkeiten. Da die Reihenfolge der gezogenen Elemente keine Rolle spielt, muss man durch die Anzahl der Permutationen in dieser Menge von $k$ Elementen dividieren, also durch $k!$ teilen, woraus die angegebene Formel folgt.
OK, an dieser Stelle merke ich spätestens, dass ich nie für ein Lexikon arbeiten werde - das ist ja ganz schön schwierig. Verbesserungsvorschläge sind erwünscht. Viele Grüße an informix! 
Brigitte
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Thx Birgitte du hast mir sehr geholfen
thx auch an informix
Vielen Dank fuer die schnelle hilfe
Kristian
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