Bernoulli DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Bernoulli-AWP:
[mm] y'=\bruch{y}{x}-y^{2}, [/mm] x>0, y(0)=1. |
Ich habe angefangen das Problem zu lösen und bin auf folgende homogene Lösung gestoßen:
[mm] Uh=\wurzel{2ln(|x|)}+C
[/mm]
Aber irgendwie erscheint mir diese als falsch.
Bevor ich die homogene Lösung bestimmt habe, habe ich folgende DGL durch Substitution erhalten:
[mm] U'=\bruch{1}{Ux}+1
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand sagen, ob ich bisher richtig liege?
Viele Grüße und Danke für die Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich finde das irgendwie komisch, dass erst $x>0$ definiert wird und dann das AWP bei $x=0$ startet...
Steht das auch so in der Angabe? Denn wenn man die Lösungsformel der Bernoulli-DGL
[mm] e^{\int_{x_0}^x(1^-\tau)p(t)dt}\cdot(y_0^{1-\tau}+\int_{x_0}^x(1-\tau)q(t)e^{-\int_{x_0}^t(1-\tau)p(\xi)d\xi}dt)
[/mm]
mit [mm] $x_0=0,y_0=1,\tau=2,p(x)=\frac{1}{x},q(x)=-1$
[/mm]
anwendet, bekommt man ein gemeines uneigentliches Integral heraus... :(
Gruß, Harris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Das steht ganz genauso da drin. Ich habe es eins zu eins abgeschrieben.
Danke schon Mal für die Überlegungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Weiß Jemand vielleicht wie man das Problem lösen kann?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung des Bernoulli-AWP:
>
> [mm]y'=\bruch{y}{x}-y^{2},[/mm] x>0, y(0)=1.
> Ich habe angefangen das Problem zu lösen und bin auf
> folgende homogene Lösung gestoßen:
>
> [mm]Uh=\wurzel{2ln(|x|)}+C[/mm]
Merkwürdig ......
>
> Aber irgendwie erscheint mir diese als falsch.
Ja, das ist es
>
> Bevor ich die homogene Lösung bestimmt habe, habe ich
> folgende DGL durch Substitution erhalten:
>
> [mm]U'=\bruch{1}{Ux}+1[/mm]
Rechne nochmal nach. Du solltest erhalten: [mm]U'=\bruch{1}{x}*U-1[/mm]
Edit: Nein, Du solltest erhalten: [mm]-U'=\bruch{1}{x}*U-1[/mm]
Der Einwand von Harris bleibt: stimmt die Anfangsbed. y(0)=1 ?
FRED
>
> Kann mir vielleicht jemand sagen, ob ich bisher richtig
> liege?
>
> Viele Grüße und Danke für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Verdammt. Die Substitution ist [mm] U=\bruch{1}{y}. [/mm] Ich habe falsch eingesetzt.
Aber dennoch komme ich auf ein anderes Ergebnis: [mm] U'=-\bruch{1}{x}U+1
[/mm]
Und die Anfangsbedingung steht auch wirklich so in der Aufgabenstellung: y(0)=1 und x>0, Das widerspricht sich doch oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Harris |
Ja, das widerspricht sich irgendwie... Denn für die Existenz einer Lösung müsste die rechte Seite in $x$ stetig sein. In $x=0$ ist sie aber nicht mal definiert...
Nimmt man z.B. $y(1)=1$ so käme z.B. [mm] $\frac{2x}{1+x^2}$ [/mm] heraus, direkt aus obiger Lösungsformel. Oder allgemeiner [mm] $\frac{2x}{c+x^2}$ [/mm] für eine geeignete Konstante...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Hallo Fred,
wie kommst du auf [mm] U'=\bruch{1}{x}U-1??
[/mm]
Ich habe substituiert:
[mm] U=\bruch{1}{y}
[/mm]
Dann ist
[mm] U'=-\bruch{1}{y^2}*y'=-\bruch{1}{x}U+1
[/mm]
Wo liegt mein Fehler, kann diesen wieder nicht finden. Ich sitze eindeutig zu lange vor dieser Aufgabe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> wie kommst du auf [mm]U'=\bruch{1}{x}U-1??[/mm]
>
> Ich habe substituiert:
>
> [mm]U=\bruch{1}{y}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]U'=-\bruch{1}{y^2}*y'=-\bruch{1}{x}U+1[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler,
Nirgendwo, ich hab mich mit dem Vorzeichen vertan
FRED
> kann diesen wieder nicht finden. Ich
> sitze eindeutig zu lange vor dieser Aufgabe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Wenn ich dann weiter rechne, komme ich auf folgende homogene Lösung:
Uh=-Cx
Die partikuläre Lösung wäre dann:
Up=-C(x)*x
Up'=-C'(x)x-C(x)
Einsetzen in die DGL:
-C'(x)x-C(x) = [mm] \bruch{1}{x}C(x)x+1
[/mm]
Hier sieht man, dass sich das C(x) nicht auflöst, somit kann die Rechnung nicht richtig sein. Wo liegt der Fehler? Ich kann ihn leider nicht finden... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich dann weiter rechne, komme ich auf folgende
> homogene Lösung:
>
> Uh=-Cx
Das stimmt nicht. Es ist [mm] U_h(x)=\bruch{c}{x}
[/mm]
FRED
P.S.: man sagt nicht "homogene Lösung". Die Lösung ist nicht homogen, sondern eine Lösung der zugeh. homogenen DGL.
>
> Die partikuläre Lösung wäre dann:
>
> Up=-C(x)*x
>
> Up'=-C'(x)x-C(x)
>
> Einsetzen in die DGL:
>
> -C'(x)x-C(x) = [mm]\bruch{1}{x}C(x)x+1[/mm]
>
> Hier sieht man, dass sich das C(x) nicht auflöst, somit
> kann die Rechnung nicht richtig sein. Wo liegt der Fehler?
> Ich kann ihn leider nicht finden... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mo 07.11.2011 | | Autor: | paul87 |
Vielen vielen Dank, jetzt sehe ich den Fehler. Durch das negative Vorzeichen im Exponenten der e-Funktion wird nicht multipliziert, sondern dividiert.
Manchmal ist es so einfach, trotzdem wäre ich nie darauf gekommen. Ich liebe dieses Forum! :)
Dankeee...
|
|
|
|
