Bernoulli DG < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Bernoullische Differentialgleichungen:
a) y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] + [mm] xy^{2} [/mm] |
Hallo
Ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Problem bei der bestimmung der partikulären Lösung. Ich schreibe mal, was ich gemacht habe:
y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] + [mm] xy^{2} [/mm] | [mm] :y^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^{2}}y' [/mm] = [mm] \bruch{1}{xy} [/mm] + x
Substitution: z = [mm] \bruch{1}{y}. [/mm] Damit komme ich schliesslich auf die Gleichung:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{z}{x} [/mm] - x
1) Homogene Lösung:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] -\integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H} [/mm] = -x + c
2) Partikuläre Lösung:
Jetzt fällt mir nichts besseres ein, als einen polynomialen Ansatz zu wählen.. hier liegt mein Problem.
Ansatz: [mm] z_{P} [/mm] = [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c
Hiermit komme ich, nach einem Koeffizientenvergleich, auf die partikuläre Lösung:
[mm] z_{P} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}x^{2}
[/mm]
Stimmt das oder stimmt schon mein Ansatz nicht?
Grüsse und vielen Dank, Amaro
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Hallo Arcesius,
> Lösen Sie die folgenden Bernoullische
> Differentialgleichungen:
>
> a) y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm]
> Hallo
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Problem bei der
> bestimmung der partikulären Lösung. Ich schreibe mal, was
> ich gemacht habe:
>
> y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm] | [mm]:y^{2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{y^{2}}y'[/mm] = [mm]\bruch{1}{xy}[/mm] + x
>
> Substitution: z = [mm]\bruch{1}{y}.[/mm] Damit komme ich
> schliesslich auf die Gleichung:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x}[/mm] - x
>
>
> 1) Homogene Lösung:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm]
> = [mm]-\integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H}[/mm] = -x + c
>
Das muss Du nochmnal nachrechnen.
>
> 2) Partikuläre Lösung:
>
> Jetzt fällt mir nichts besseres ein, als einen
> polynomialen Ansatz zu wählen.. hier liegt mein Problem.
>
> Ansatz: [mm]z_{P}[/mm] = [mm]ax^{2}[/mm] + bx + c
>
>
> Hiermit komme ich, nach einem Koeffizientenvergleich, auf
> die partikuläre Lösung:
>
> [mm]z_{P}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x^{2}[/mm]
>
>
> Stimmt das oder stimmt schon mein Ansatz nicht?
>
> Grüsse und vielen Dank, Amaro
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Danke schon mal für den Hinweis!
> Hallo Arcesius,
>
> > Lösen Sie die folgenden Bernoullische
> > Differentialgleichungen:
> >
> > a) y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm]
> > Hallo
> >
> > Ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Problem bei der
> > bestimmung der partikulären Lösung. Ich schreibe mal, was
> > ich gemacht habe:
> >
> > y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm] | [mm]:y^{2}[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{y^{2}}y'[/mm] = [mm]\bruch{1}{xy}[/mm] + x
> >
> > Substitution: z = [mm]\bruch{1}{y}.[/mm] Damit komme ich
> > schliesslich auf die Gleichung:
> >
> > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x}[/mm] - x
> >
> >
> > 1) Homogene Lösung:
> >
> > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm]
> > = [mm]-\integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H}[/mm] = -x + c
> >
>
>
> Das muss Du nochmnal nachrechnen.
>
>
Stimmt, habe zu schnell überlegt.. bzw. nicht viel überlegt.. :)
[mm] z_{H} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*c [/mm] = [mm] \bruch{c}{x}
[/mm]
> >
> > 2) Partikuläre Lösung:
> >
> > Jetzt fällt mir nichts besseres ein, als einen
> > polynomialen Ansatz zu wählen.. hier liegt mein Problem.
> >
> > Ansatz: [mm]z_{P}[/mm] = [mm]ax^{2}[/mm] + bx + c
> >
> >
> > Hiermit komme ich, nach einem Koeffizientenvergleich, auf
> > die partikuläre Lösung:
> >
> > [mm]z_{P}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x^{2}[/mm]
> >
> >
> > Stimmt das oder stimmt schon mein Ansatz nicht?
> >
> > Grüsse und vielen Dank, Amaro
> >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Dann komme ich auf:
z = [mm] z_{H} [/mm] + [mm] z_{P} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^{2} \Rightarrow [/mm] y = [mm] -\bruch{3}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{x}{c}
[/mm]
Stimmt das?
Grüsse, Amaro
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Hallo Arcesius,
> Hallo
>
> Danke schon mal für den Hinweis!
>
> > Hallo Arcesius,
> >
> > > Lösen Sie die folgenden Bernoullische
> > > Differentialgleichungen:
> > >
> > > a) y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm]
> > > Hallo
> > >
> > > Ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Problem bei der
> > > bestimmung der partikulären Lösung. Ich schreibe mal, was
> > > ich gemacht habe:
> > >
> > > y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm] | [mm]:y^{2}[/mm]
> > > [mm]\bruch{1}{y^{2}}y'[/mm] = [mm]\bruch{1}{xy}[/mm] + x
> > >
> > > Substitution: z = [mm]\bruch{1}{y}.[/mm] Damit komme ich
> > > schliesslich auf die Gleichung:
> > >
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x}[/mm] - x
> > >
> > >
> > > 1) Homogene Lösung:
> > >
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm]
> > > = [mm]-\integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H}[/mm] = -x + c
> > >
> >
> >
> > Das muss Du nochmnal nachrechnen.
> >
> >
>
> Stimmt, habe zu schnell überlegt.. bzw. nicht viel
> überlegt.. :)
>
> [mm]z_{H}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}*c[/mm] = [mm]\bruch{c}{x}[/mm]
>
> > >
> > > 2) Partikuläre Lösung:
> > >
> > > Jetzt fällt mir nichts besseres ein, als einen
> > > polynomialen Ansatz zu wählen.. hier liegt mein Problem.
> > >
> > > Ansatz: [mm]z_{P}[/mm] = [mm]ax^{2}[/mm] + bx + c
> > >
> > >
> > > Hiermit komme ich, nach einem Koeffizientenvergleich, auf
> > > die partikuläre Lösung:
> > >
> > > [mm]z_{P}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x^{2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Stimmt das oder stimmt schon mein Ansatz nicht?
> > >
> > > Grüsse und vielen Dank, Amaro
> > >
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Dann komme ich auf:
>
> z = [mm]z_{H}[/mm] + [mm]z_{P}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}x^{2} \Rightarrow[/mm]
> y = [mm]-\bruch{3}{x^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{x}{c}[/mm]
>
>
> Stimmt das?
Die Lösung für z stimmt.
Es ist dann [mm]y=\bruch{1}{z}=\bruch{1}{\bruch{1}{x} - \bruch{1}{3}x^{2}}[/mm]
>
> Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Danke :)
Ich weiss auch nicht, wie ich auf die Umformung gekommen bin.. ^^
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | c) xy' + 2y = [mm] -x^{3}cos(x)y^{2} [/mm] |
Hallo.
Hier schon die nächste Aufgabe...
Ich habe zuerst die Substitution durchgeführt und die homogene Lösung bestimmt. Nach meinen Berechnungen sollte diese folgendermassen aussehen:
- Substitution: z = [mm] \bruch{1}{y} \Rightarrow \bruch{dz}{dy} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{y^{2}} \Rightarrow [/mm] dy = [mm] -y^{2} [/mm] dz.
Somit komme ich schliesslich auf die Gleichung:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{2z}{x} [/mm] + [mm] x^{2}cos(x)
[/mm]
1) Homogene Lösung:
[mm] \bruch{dz}{2z} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x} \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H} [/mm] = [mm] x^{2}c
[/mm]
2) Partikuläre Lösung:
Hier hänge ich. Ich habe 2 Möglichkeiten: Ansatz oder Variation der Konstanten. Mit der Variation ist es ja kein Problem, anzusetzen. Aber ich würde die Aufgabe gerne per Ansatz lösen.. was soll ich für einen wählen? Ich habe immer Probleme einen zu finden, sobald die Inhomogenität ein gemischter Term ist.. (hier [mm] x^{2}cos(x).. [/mm] da kann mein Ansatz ja nicht asin(x) + bcos(x) sein, oder?)
Das ist alles, was ich gerne wissen würde, damit ich auf diese Weise auf die Lösung komme :) Wäre dankbar um einen Hinweis.
Grüsse, Amaro
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Hallo Arecesius,
> c) xy' + 2y = [mm]-x^{3}cos(x)y^{2}[/mm]
> Hallo.
>
> Hier schon die nächste Aufgabe...
>
> Ich habe zuerst die Substitution durchgeführt und die
> homogene Lösung bestimmt. Nach meinen Berechnungen sollte
> diese folgendermassen aussehen:
>
> - Substitution: z = [mm]\bruch{1}{y} \Rightarrow \bruch{dz}{dy}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{y^{2}} \Rightarrow[/mm] dy = [mm]-y^{2}[/mm] dz.
>
> Somit komme ich schliesslich auf die Gleichung:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{2z}{x}[/mm] + [mm]x^{2}cos(x)[/mm]
>
> 1) Homogene Lösung:
>
> [mm]\bruch{dz}{2z}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{x} \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm]
> = [mm]\integral{\bruch{1}{x} dx} \Rightarrow z_{H}[/mm] = [mm]x^{2}c[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2) Partikuläre Lösung:
>
> Hier hänge ich. Ich habe 2 Möglichkeiten: Ansatz oder
> Variation der Konstanten. Mit der Variation ist es ja kein
> Problem, anzusetzen. Aber ich würde die Aufgabe gerne per
> Ansatz lösen.. was soll ich für einen wählen? Ich habe
> immer Probleme einen zu finden, sobald die Inhomogenität
> ein gemischter Term ist.. (hier [mm]x^{2}cos(x)..[/mm] da kann mein
> Ansatz ja nicht asin(x) + bcos(x) sein, oder?)
> Das ist alles, was ich gerne wissen würde, damit ich auf
> diese Weise auf die Lösung komme :) Wäre dankbar um einen
> Hinweis.
Der Ansatz ist immer entsprechend der Störfunktion zu wählen.
Hier also:
[mm]z_{p}\left(x\right)=u\left(x\right)*\sin\left(x\right)+v\left(x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
,wobei u,v Polynome 3. Grades sind.
Es reicht eigentlich schon, daß die Polynome vom Grad 2 sind.
>
> Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Dann geht es hier mit der Variation der Konstanten deutlich einfacher..
Aber danke für deine Antwort, die hat geholfen!
Grüsse, Amaro
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