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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 10.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | In der Vorlesung wurde Folgendes notiert (als Beispiel für den Begriff "statistisches Modell"):
Binomialverteilung
[mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] Beobachtungen unabhängiger Bernouilli-Zufallsvariablen, [mm] $X_i\sim \operatorname{Bin}(1,p), p\in [/mm] [0,1], i=1,...,n$, p unbekannt
(z.B. klinischer Versuch: Erprobung eines Medikaments an n Patienten, p: Erfolgswahrscheinlichkeit für Heilung)
Modell:
[mm] $M=\left\{0,1\right}^n$ [/mm] mit der Interpretation:
[mm] $x_i=1\Leftrightarrow$ [/mm] "Medikament hat Erfolg beim i-ten Patienten."
[mm] $x_i=0\Leftrightarrow$ [/mm] "kein Erfolg"
[mm] $\mathcal{A}=\frak{P}(M)$
[/mm]
[mm] $\mathcal{P}=\left\{\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p); p\in [0,1]\right\}$ [/mm] |
Hallo!
Meine Frage hierzu ist, warum hier die Überschrift "Binomialverteilung" gewählt wurde bzw. warum es nicht heißt:
[mm] $\mathcal{P}=\left\{P(k)=\binom{n}{k}\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p); p\in [0,1], k\leq n\right\}$
[/mm]
So, wie das Modell da oben steht, passt es doch nicht zur Überschrift, oder? So, wie es dort steht, ist es doch nur eine Bernouilli-Kette...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Fry |
Hey mikexx,
vielleicht ist die Überschrift nicht ganz passend gewählt,aber
bei Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen handelt sich ja auch Binomialverteilte Zufallsgrößen.
Wenn man statt der Verteilung des Vektors [mm](X_1,...,X_n)[/mm] die Verteilung [mm]\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] betrachten würde, würde man ja zu der Familie der Binomialverteilungen [mm]B(n,p)[/mm] mit n fest, p variabel gelangen.
Achte auf die Schreibweise: [mm]\bigotimes_{i=1}^{n}B(1,p) [/mm] ist ein Wmaß, also die Verteilung [mm]P^{(X_1,...,X_n)[/mm]. Das kann man formal nicht so mit dem Binomialk. multiplizieren. Außerdem ist [mm]P((X_1,...,X_n)=(x_1,...,x_n))=\produkt_{i=1}^{n}P(X_i=x_i)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}[/mm]
Auch wenn du das mit (n über k) multiplizierst, bekommst du nicht die [mm]B(n,p)[/mm]-Verteilung.
LG
Fry
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