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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 So 08.01.2006 | | Autor: | Adeno |
| Aufgabe | Welcher Bereich der komplexen Zahlenebene ist durch
{ z | |z-1| <= 1 und |z| > |z-2| |}
beschrieben? Man skizziere diesen Bereich. |
Hi,
ich bin gerade an dieser Aufgabe.
Ich denke ich hab die Lösung, würde also gerne wissen, ob ich damit richtig liege und vielleicht hat mir jemand für diesen Bereich (komplexe Zahlenebene) auch noch ein paar Tipps/Hinweise, wie man so etwas praktisch, schnell und klug angeht. Irgendwie hänge ich da manchmal nämlich noch.
Zu meiner Vorgehensweise:
Ich habe ja zwei Ungleichungen, welche meine komplexe Zahl z beschreibt.
1.) |z-1| <= 1
2.) |z-2| < |z| (nachträglich korrigiert!)
zu 1.)
Umformung: | z + (1 - 0i) | <= 1
Das sagt mir, dass ich einen Kreis mit dem Radius 1 habe, dessen Mittelpunkt 1 - 0i ist (also 1 auf der reellen Achse). Irgendwo darin liegt meine gesuchte komplexe Zahl z (inklusive Kreisrahmen).
zu 2.)
|z| ist ja der Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung. (also [mm] \wurzel{a² + b²} [/mm] wobei a der reelle und b der imaginäre Teil von z ist).
Durch Umformung: | z - (2 - i0) | < |z| (nachträglich korrigiert!) weiß ich, dass ich einen Kreis mit dem Radius 2 habe. Der Mittelpunkt ist eben der Abstand der komplexen Zahl zum Usprung. Durch 1.) weiß ich, dass der Abstand vom Ursprung maximal 2 sein kann. (siehe Korrektur unten!)
Also ist der Radius vom zweiten Kreis auch maximal 2 (und zwar ohne Rand).
Somit wäre der Bereich der komplette Kreis von 1.) (also Kreis mit Radius 1 um (1-0i)) mit Kreisrand, aber ausgenommen dem Ursprung (0+0i), da der durch den Kreis von 2. nicht mehr dabei ist (liegt nur auf dem Rand von 2.).
Stimmt das so?
Grüße
Korrektur: Gemeint war, dass mir die 2. Ungleichung anzeigt, dass ich einen Kreis um den Mittelpunkt 2-i0 habe und der Radius |z| ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Zu meiner Vorgehensweise:
>
> Ich habe ja zwei Ungleichungen, welche meine komplexe Zahl
> z beschreibt.
>
>
> 1.) |z-1| <= 1
> 2.) |z-2| > |z|
>
> zu 1.)
>
> Umformung: | z + (1 - 0i) | <= 1
> Das sagt mir, dass ich einen Kreis mit dem Radius 1 habe,
> dessen Mittelpunkt 1 - 0i ist (also 1 auf der reellen
> Achse). Irgendwo darin liegt meine gesuchte komplexe Zahl z
> (inklusive Kreisrahmen).
Genau.
> zu 2.)
>
> |z| ist ja der Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung.
> (also [mm]\wurzel{a² + b²}[/mm] wobei a der reelle und b der
> imaginäre Teil von z ist).
Ja.
> Durch Umformung: | z - (2 - i0) | > |z| weiß ich, dass ich
> einen Kreis mit dem Radius 2 habe.
Wie kommst du dadrauf?!
Setz mal $z = a + i b$ ein. Dann hast du $|a + i b - 2| = [mm] \sqrt{(a - 2)^2 + b^2}$ [/mm] und $|z| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2}$. [/mm] Damit also $|a + i b - 2| > |a + i b|$ ist, muss $(a - [mm] 2)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] > [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] sein, also...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 08.01.2006 | | Autor: | Adeno |
Sorry ich hatte etwas falsch abgeschrieben.
Die zweite Ungleichung ist
|z-2| < |z| und nicht wie ich geschrieben hatte größer.
> > Durch Umformung: | z - (2 - i0) | > |z| weiß ich, dass ich
> > einen Kreis mit dem Radius 2 habe.
>
> Wie kommst du dadrauf?!
Ähmm ich meinte natürlich, ich weiß, "dass ich einen Kreis mit dem Radius < |z| habe und der Mittelpunkt 2-i0 ist.
Den Hinweis probiere ich gleich aus. Danke!
Ist meine Idee vom Anfang durch den Fehler wieder richtig? Oder wieso kann man das so nicht machen?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sorry ich hatte etwas falsch abgeschrieben.
>
> Die zweite Ungleichung ist
>
> |z-2| < |z| und nicht wie ich geschrieben hatte größer.
Ok.
> > > Durch Umformung: | z - (2 - i0) | > |z| weiß ich, dass ich
> > > einen Kreis mit dem Radius 2 habe.
> >
> > Wie kommst du dadrauf?!
>
> Ähmm ich meinte natürlich, ich weiß, "dass ich einen Kreis
> mit dem Radius < |z| habe und der Mittelpunkt 2-i0 ist.
Das ist falsch, da du die Elemente $z$ beschreiben willst die im Kreis liegen. Dann kannst du nicht $|z|$ als Radius nehmen!
> Ist meine Idee vom Anfang durch den Fehler wieder richtig?
> Oder wieso kann man das so nicht machen?
Welche Idee meinst du?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 So 08.01.2006 | | Autor: | Adeno |
> > Ist meine Idee vom Anfang durch den Fehler wieder richtig?
> > Oder wieso kann man das so nicht machen?
>
> Welche Idee meinst du?
Die, die du in der Zeile darüber (leider) schon verneint hast 
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 08.01.2006 | | Autor: | Adeno |
Ich habe das nun so gerechnet und bekomme dann 1/2 < a raus.
Aber was bringt mir das nun?
Irgendwie bin ich gerade durcheinander... Ich glaub eine "Analysis-Pause" würde mir jetzt mal gut tun :)
Danke für die Hilfe
bye
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich habe das nun so gerechnet und bekomme dann 1/2 < a
> raus.
> Aber was bringt mir das nun?
Nun, das sagt dir, das alle komplexen Zahlen $z$ mit Realteil $a > 1/2$ die Gleichung erfuellen.
Das Ergebnis ist allerdings nicht richtig: $|z - 2| < |z|$ impliziert $a < 1$, wenn $z = a + i b$ ist, und nicht $1/2 < a$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 08.01.2006 | | Autor: | Adeno |
Ok danke dir.
Werde es mir später oder morgen nochmal alles durchrechnen und anschauen.
Danke für deine Hilfe.
bye
Jan
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