Berechnungen am Kreis < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein glecihschenkliges Dreieck ABC mit A(-2/4), B(2/-4) und C(4/2)
a) Berechnen Sie eine Gleichung des Kreises [mm] k_1 [/mm] mit dem Mittelpunkt D(0/0), der durch den Punkt C verläuft.
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Mittelsenkrechten zur Strecke AC. Begründen Sie, dass sich alle Mittelsenkrechten des Dreiecks im Punkt D schneiden.
c) Der Kreis [mm] k_2 [/mm] verläuft durch die Punkte D,C und [mm] M_b. [/mm] bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises [mm] k_2.
[/mm]
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Hallo,
Also wäre schön wenn ihr mal dürber gucken könntet:
a) ich habe für d(MC)= [mm] \wurzel{20}, [/mm] also lautet die Kreisgleichung
[mm] k_1: [/mm] (x-0)²+(y-0)²=5
Annahme:
[mm] \gamma [/mm] sei rechter Winkel [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine Tangente t(x) in C
nach Ermitteln von [mm] g_{MC} [/mm] habe ich dann für t(x)= 2x+10
WIE kann ich nun beweisen, dass dies nun wirklcih eine tangente ist? (weil dann habe ich ja die orthogonalität des Dreieckes gezeigt ode?)
b)
also hier habe ich für m= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] raus habe von [mm] g_{AB} [/mm] und durch einsetzen eines Punktes [mm] y=-\bruch{1}{3}x+3\bruch{1}{3}
[/mm]
für [mm] M_b [/mm] habe ich den Punkt (1/3) berechnet und für [mm] g_M_b=3x
[/mm]
Begründung: durch die gleichschenkligkeit des Dreieckes schneiden sich die Mittelsenkrechten der gleichen seiten in einem Punkt und zwar im Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite also folgt daraus, dass sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden.
Ist das richtig?
c) ist es hier richtig, dass der Mittelpunkt des Kreises der mittelpunkt der Strecke DC ist? also das wäre dann E(2/1). wenn ich die Länge der Strecke berechne, erhalte ich für [mm] k_2: [/mm] (x-2)²+(y-1)²=3
Ist das richtig?
danke schonmal für eure Mühen! wenn b und c richtig sind, wäre es toll wenn mir jemand bei a weiterhelfen könnte!
Liebe Grüße limönchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Fr 29.05.2009 | | Autor: | weduwe |
zunächst zu a) das ist doch die einfachste übung 
[mm] r=\sqrt{c_x^2+c_y^2}=\sqrt{16+4}
[/mm]
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> Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit A(-2/4),
> B(2/-4) und C(4/2).
Man kann übrigens leicht sehen, dass dieses Dreieck
sogar gleichschenklig und (bei C) rechtwinklig ist.
Dann wird z.B. die Antwort auf Frage b trivial, weil
der Mittelpunkt der Hypotenuse auch Umkreismittel-
punkt des Dreiecks ABC ist.
> a) Berechnen Sie eine Gleichung des Kreises [mm]k_1[/mm] mit dem
> Mittelpunkt D(0/0), der durch den Punkt C verläuft.
> b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Mittelsenkrechten zur
> Strecke AC. Begründen Sie, dass sich alle Mittelsenkrechten
> des Dreiecks im Punkt D schneiden.
> c) Der Kreis [mm]k_2[/mm] verläuft durch die Punkte D,C und [mm]M_b.[/mm]
> bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises [mm]k_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> Also wäre schön wenn ihr mal dürber gucken könntet:
> a) ich habe für d(MC)= [mm]\wurzel{20},[/mm] also lautet die
> Kreisgleichung
> [mm]k_1:[/mm] (x-0)²+(y-0)²=5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
der Radius ist weder 5 noch [mm] \wurzel{5}, [/mm] sondern [mm] \wurzel{20}
[/mm]
> Annahme:
> [mm]\gamma[/mm] sei rechter Winkel [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine Tangente
> t(x) in C
> nach Ermitteln von [mm]g_{MC}[/mm] habe ich dann für t(x)= 2x+10 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> WIE kann ich nun beweisen, dass dies nun wirklich eine
> tangente ist? (weil dann habe ich ja die orthogonalität des
> Dreieckes gezeigt oder?)
Keine Ahnung, weshalb du dich hier mit einer Tangente
beschäftigen willst. Willst du zeigen, dass das Dreieck
bei C einen rechten Winkel hat, betrachte z.B. die
Vektoren [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CB} [/mm] .
> b)
> also hier habe ich für m= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] raus habe von
> [mm]g_{AB}[/mm]
Du meinst wohl die Gerade durch A und C, nicht die
durch A und B ! Die Mittelsenkrechte von [AC] hat dann
die Steigung [mm] -\bruch{1}{-\bruch{1}{3}}\,=\,3 [/mm] und muss
durch den Mittelpunkt [mm] M_b(1/3) [/mm] von [AC] gehen.
> und durch einsetzen eines Punktes
> [mm]y=-\bruch{1}{3}x+3\bruch{1}{3}[/mm]
Diese Gleichung stellt keine der Mittelsenkrechten dar,
sondern die Gerade AC. Diese Geradengleichung braucht
man eigentlich für die Lösung der Aufgabe gar nicht.
> für [mm]M_b[/mm] habe ich den Punkt (1/3) berechnet und für
> [mm]g_M_b=3x[/mm]
>
> Begründung: durch die gleichschenkligkeit des Dreieckes
> schneiden sich die Mittelsenkrechten der gleichen seiten in
> einem Punkt und zwar im Mittelpunkt der gegenüberliegenden
> Seite also folgt daraus, dass sich alle Mittelsenkrechten
> in einem Punkt schneiden.
>
> Ist das richtig?
Das hat nicht mit der Gleichschenkligkeit, sondern
mit der Rechtwinkligkeit des Dreiecks ABC zu tun !
> c) ist es hier richtig, dass der Mittelpunkt des Kreises
> der mittelpunkt der Strecke DC ist? also das wäre dann
> E(2/1).
Das ist richtig, denn auch das Dreieck [mm] DCM_b [/mm] ist wieder
ein gleichschenklig-rechtwinkliges, dessen Umkreismittelpunkt
der Mittelpunkt der Strecke [DC] ist.
> wenn ich die Länge der Strecke berechne, erhalte
> ich für [mm]k_2:[/mm] (x-2)²+(y-1)²=3
> Ist das richtig?
nein, wieder stimmt der Radius nicht.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Limone81 |
hallo, also erstmal habe ich mit bei dem durchmesser vertan, da ich dachte ich rechne iei strecke AB aus, dann wäre d= [mm] \wurzel{20} [/mm] und r= 5!!! ebenso weiter unten. kann ja mal vorkommen!
> > Also wäre schön wenn ihr mal dürber gucken könntet:
> > a) ich habe für d(MC)= [mm]\wurzel{20},[/mm] also lautet die
> > Kreisgleichung
> > [mm]k_1:[/mm] (x-0)²+(y-0)²=5
>
> der Radius ist weder 5 noch [mm]\wurzel{5},[/mm] sondern
> [mm]\wurzel{20}[/mm]
>
> > Annahme:
> > [mm]\gamma[/mm] sei rechter Winkel [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine Tangente
> > t(x) in C
> > nach Ermitteln von [mm]g_{MC}[/mm] habe ich dann für t(x)= 2x+10
>
> > WIE kann ich nun beweisen, dass dies nun wirklich eine
> > tangente ist? (weil dann habe ich ja die orthogonalität des
> > Dreieckes gezeigt oder?)
>
> Keine Ahnung, weshalb du dich hier mit einer Tangente
> beschäftigen willst. Willst du zeigen, dass das Dreieck
> bei C einen rechten Winkel hat, betrachte z.B. die
> Vektoren [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] .
>
Kann ich nur ohne Vektoren zeigen, da wir diese noch nicht haben!!!
also wie denn dann? deshalb stelle ich ja hier die Frage, weil ich da nicht weiter komme! und das mit der tangente nur in den sinn kam!
> > b)
> > also hier habe ich für m= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] raus habe von
> > [mm]g_{AB}[/mm]
>
> Du meinst wohl die Gerade durch A und C, nicht die
> durch A und B ! Die Mittelsenkrechte von [AC] hat dann
> die Steigung [mm]-\bruch{1}{-\bruch{1}{3}}\,=\,3[/mm] und muss
> durch den Mittelpunkt [mm]M_b(1/3)[/mm] von [AC] gehen.
>
>
> > und durch einsetzen eines Punktes
> > [mm]y=-\bruch{1}{3}x+3\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Diese Gleichung stellt keine der Mittelsenkrechten dar,
> sondern die Gerade AC. Diese Geradengleichung braucht
> man eigentlich für die Lösung der Aufgabe gar nicht.
Nein das sollte auch die gerade durch A und C sein. die Gerade der Mittelsenkrechten steht ein paar zeilen tiefer!
>
> > für [mm]M_b[/mm] habe ich den Punkt (1/3) berechnet und für
> > [mm]g_M_b: y=3x[/mm]
>
> > c) ist es hier richtig, dass der Mittelpunkt des Kreises
> > der mittelpunkt der Strecke DC ist? also das wäre dann
> > E(2/1).
>
> Das ist richtig, denn auch das Dreieck [mm]DCM_b[/mm] ist wieder
> ein gleichschenklig-rechtwinkliges, dessen
> Umkreismittelpunkt
> der Mittelpunkt der Strecke [DC] ist.
>
>
> > wenn ich die Länge der Strecke berechne, erhalte
> > ich für [mm]k_2:[/mm] (x-2)²+(y-1)²=3
> > Ist das richtig?
>
> nein, wieder stimmt der Radius nicht.
>
>
> LG Al-Chwarizmi
also gibt es eine Lösung ohne Vektorrechnung???
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Hallo Limone81,
> hallo, also erstmal habe ich mit bei dem durchmesser
> vertan, da ich dachte ich rechne iei strecke AB aus, dann
> wäre d= [mm]\wurzel{20}[/mm] und r= 5!!! ebenso weiter unten. kann
> ja mal vorkommen!
immer noch falsch: [mm] |AB|=\wurzel{20}\ne5
[/mm]
>
> > > Also wäre schön wenn ihr mal dürber gucken könntet:
> > > a) ich habe für d(MC)= [mm]\wurzel{20},[/mm] also lautet die
> > > Kreisgleichung
> > > [mm]k_1:[/mm] (x-0)²+(y-0)²=5
> >
> > der Radius ist weder 5 noch [mm]\wurzel{5},[/mm] sondern
> > [mm]\wurzel{20}[/mm]
> >
> > > Annahme:
> > > [mm]\gamma[/mm] sei rechter Winkel [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine Tangente
> > > t(x) in C
> > > nach Ermitteln von [mm]g_{MC}[/mm] habe ich dann für t(x)=
> 2x+10
> >
> > > WIE kann ich nun beweisen, dass dies nun wirklich
> eine
> > > tangente ist? (weil dann habe ich ja die orthogonalität des
> > > Dreieckes gezeigt oder?)
> >
> > Keine Ahnung, weshalb du dich hier mit einer Tangente
> > beschäftigen willst. Willst du zeigen, dass das
> Dreieck
> > bei C einen rechten Winkel hat, betrachte z.B. die
> > Vektoren [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CB}[/mm] .
> >
>
> Kann ich nur ohne Vektoren zeigen, da wir diese noch nicht
> haben!!!
In welche Klasse gehst du denn?
> also wie denn dann?
Es wäre schön, wenn du uns erzählst, welche Voraussetzungen du mitbringst, damit wir nicht bei Adam und Eva anfangen...
> deshalb stelle ich ja hier die Frage,
> weil ich da nicht weiter komme! und das mit der tangente
> nur in den sinn kam!
> > > b)
> > > also hier habe ich für m= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] raus habe
> von
> > > [mm]g_{AB}[/mm]
> >
> > Du meinst wohl die Gerade durch A und C, nicht die
> > durch A und B ! Die Mittelsenkrechte von [AC] hat dann
> > die Steigung [mm]-\bruch{1}{-\bruch{1}{3}}\,=\,3[/mm] und muss
> > durch den Mittelpunkt [mm]M_b(1/3)[/mm] von [AC] gehen.
> >
> >
> > > und durch einsetzen eines Punktes
> > > [mm]y=-\bruch{1}{3}x+3\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Diese Gleichung stellt keine der Mittelsenkrechten dar,
> > sondern die Gerade AC. Diese Geradengleichung braucht
> > man eigentlich für die Lösung der Aufgabe gar nicht.
>
> Nein das sollte auch die gerade durch A und C sein. die
> Gerade der Mittelsenkrechten steht ein paar zeilen tiefer!
> >
> > > für [mm]M_b[/mm] habe ich den Punkt (1/3) berechnet und für
> > > [mm]g_M_b: y=3x[/mm]
> >
> > > c) ist es hier richtig, dass der Mittelpunkt des
> Kreises
> > > der mittelpunkt der Strecke DC ist? also das wäre dann
> > > E(2/1).
> >
> > Das ist richtig, denn auch das Dreieck [mm]DCM_b[/mm] ist wieder
> > ein gleichschenklig-rechtwinkliges, dessen
> > Umkreismittelpunkt
> > der Mittelpunkt der Strecke [DC] ist.
> >
> >
> > > wenn ich die Länge der Strecke berechne, erhalte
> > > ich für [mm]k_2:[/mm] (x-2)²+(y-1)²=3
> > > Ist das richtig?
> >
> > nein, wieder stimmt der Radius nicht.
> >
> >
> > LG Al-Chwarizmi
>
> also gibt es eine Lösung ohne Vektorrechnung???
>
Gruß informix
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Hallo Limone81,
> Gegeben ist ein glecihschenkliges Dreieck ABC mit A(-2/4),
> B(2/-4) und C(4/2)
> a) Berechnen Sie eine Gleichung des Kreises [mm]k_1[/mm] mit dem
> Mittelpunkt D(0/0), der durch den Punkt C verläuft.
> b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Mittelsenkrechten zur
> Strecke AC. Begründen Sie, dass sich alle Mittelsenkrechten
> des Dreiecks im Punkt D schneiden.
> c) Der Kreis [mm]k_2[/mm] verläuft durch die Punkte D,C und [mm]M_b.[/mm]
> bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises [mm]k_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> Also wäre schön wenn ihr mal dürber gucken könntet:
> a) ich habe für d(MC)= [mm]\wurzel{20},[/mm] also lautet die
> Kreisgleichung
> [mm]k_1:[/mm] (x-0)²+(y-0)²=5
wie weduwe schon geschrieben hat: [mm] \wurzel{4^2+2^2}\ne5 [/mm] sondern [mm] \wurzel{4^2+2^2}=2*\wurzel{5}
[/mm]
Im übrigen ist die Kreisgleichung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") : [mm] k:(x-0^2²+(y-0)^2=r^2=20
[/mm]
> Annahme:
> [mm]\gamma[/mm] sei rechter Winkel [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine Tangente
> t(x) in C
> nach Ermitteln von [mm]g_{MC}[/mm] habe ich dann für t(x)= 2x+10
Du sollst nicht mit Annahmen operieren, sondern einfach die Mittelsenkrechte zu AC bestimmen:
1. Mitte der Seite AC bestimmen,
2. Geradengleichung durch Aund C aufstellen
3. Orhtogonale Richtung bestimmen
4. Orthogonale Gerade durch C bestimmen
Dasselbe für BC machen [mm] \rightarrow [/mm] auch diese Gerade verläuft durch D (0|0).
Zum Nachweis allgemein: Satz über die Mittelsenkrechten im  Dreieck anwenden
> WIE kann ich nun beweisen, dass dies nun wirklcih eine
> tangente ist? (weil dann habe ich ja die orthogonalität des
> Dreieckes gezeigt ode?)
Die Tangente führt dich m.E. völlig in die Irre.
> b)
> also hier habe ich für m= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] raus habe von
Was ist m?
> [mm]g_{AB}[/mm] und durch einsetzen eines Punktes
> [mm]y=-\bruch{1}{3}x+3\bruch{1}{3}[/mm]
> für [mm]M_b[/mm] habe ich den Punkt (1/3) berechnet und für
> [mm]g_M_b=3x[/mm]
>
> Begründung: durch die gleichschenkligkeit des Dreieckes
> schneiden sich die Mittelsenkrechten der gleichen seiten in
> einem Punkt und zwar im Mittelpunkt der gegenüberliegenden
> Seite also folgt daraus, dass sich alle Mittelsenkrechten
> in einem Punkt schneiden.
>
> Ist das richtig?
>
> c) ist es hier richtig, dass der Mittelpunkt des Kreises
> der mittelpunkt der Strecke DC ist? also das wäre dann
> E(2/1). wenn ich die Länge der Strecke berechne, erhalte
> ich für [mm]k_2:[/mm] (x-2)²+(y-1)²=3
> Ist das richtig?
> danke schonmal für eure Mühen! wenn b und c richtig sind,
> wäre es toll wenn mir jemand bei a weiterhelfen könnte!
> Liebe Grüße limönchen
Gruß informix
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