Berechnung von Log(-i) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 24.05.2005 | | Autor: | westpark |
Hallo,
in einer Aufgabe soll ich u.a. Log(-i) berechnen, allerdings komme ich bei meiner Berechnung auf einen Widerspruch, den ich nicht verstehen kann:
Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
Log(z) = ln|z| + i*arg(z) (nach Definition) , hier: z = -i
Ich gehe über in Polarkoordinaten [d.h., ich weise (Re(z),Im(z)) = (a,b) das Tupel (r, [mm] \phi) [/mm] zu] und weiß, dass...
r = |z| = |-i| = [mm] \wurzel{a²+b²} [/mm] = [mm] \wurzel{0 + (-1)²} [/mm] = 1 sowie
a = r*cos( [mm] \phi [/mm] ) = 1*cos( [mm] \phi [/mm] ) = 0, b= r*sin( [mm] \phi [/mm] ) = 1*sin( [mm] \phi [/mm] ) = -1 gelten.
Daraus würde aber folgen: [mm] \phi [/mm] = arccos(0) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und auch [mm] \phi [/mm] = arcsin(-1) = - [mm] \bruch{\pi}{2},
[/mm]
das kann doch so nicht richtig sein, oder?
Für jede themabezogene Antwort wäre ich dankbar.
Mit freundlichen Grüßen verbleibend
westpark.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo westpark!
Naja, es gilt ja auch:
[mm] $\cos\left(-\frac{\pi}{2} \right)=0$.
[/mm]
Da die Kosinusfunktion auf [mm] $(-\pi,\pi)$ [/mm] nun mal nicht eindeutig ist, reicht es nicht einfach den Arkusskosinuswert [mm] $\varphi$ [/mm] aus [mm] $(0,\pi)$ [/mm] zu wählen, sondern es gibt immer auch noch einen äquivalenten Winkel [mm] $-\varphi$ [/mm] aus [mm] $(-\pi,0)$.
[/mm]
Du musst halt schauen, in welchem Quadraten du dich befindest...
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 24.05.2005 | | Autor: | westpark |
Hm, die Antwort lag recht nahe, auch wenn ich (komischewrweise) nie d'rauf gestoßen bin, sondern stattdessen die 2-3 simplen Rechenwege 100mal nachgerechnet habe.
Jetzt ist aber alles klar.
Danke dafür, Julius!
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