Berechnung von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne folgende Grenzwerte, falls diese exisitieren.
(1)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{2k(1+k)^k}{k^{k+1}}}
[/mm]
(2)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}} [/mm] |
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe mit Grenzwerten
In beiden Fällen wäre ich hier ja bei einem [mm] \frac{\infty}{\infty}, [/mm] was bietet sich hier zur Umformung an?
Dürfte man bei der ersten Aufgabe zuerst das k ausklammern und dann kürzen? Dann hätte ich unten wenigstens einen konstanten Wert mit [mm] 1^{k+1}.
[/mm]
Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs Ausklammern hinauslaufen oder muss man noch speziell auf das [mm] (-1)^k [/mm] eingehen?
Vielen Dank im Voraus!
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Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen, aber entspricht
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2 [/mm] denn denn dem gleichen wie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2 [/mm] ?
Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.
Vielen Dank!!
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Hallo mtr-studi!
> Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
> aber entspricht [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2[/mm] denn denn dem gleichen wie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2[/mm] ?
Aufgepasst. Der Exponent muss jeweils $k_$ lauten und nicht 2!
> Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.
Betrachte den Spezialfall $x \ = \ 1$ und vergleiche!
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 07.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Achso es gilt also für alle x. 
Vielen Dank für die schnelle Antwort, hast mir sehr geholfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 07.11.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo mtr-studi!
Nur, damit hier kein Missverständnis aufkommt ... es gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{x}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Do 07.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ok das ist wirklich gut zu wissen, denn ich dachte jetzt gerade, dass es einfach für alle x die eulersche Zahl ergeben würde, diese Annahme war ja falsch!
Danke
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Hallo mtr-studi!
> [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}}[/mm]
>
> Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs
> Ausklammern hinauslaufen
Ja.
> oder muss man noch speziell auf das [mm](-1)^k[/mm] eingehen?
Nicht, wenn man richtig ausklammert und kürzt.
Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $k^2$ [/mm] aus.
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1}
[/mm]
Reicht das hier so?
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Hallo mtr-studi!
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1}[/mm]
>
> Reicht das hier so?
Wenn Du nun noch das Endergebnis hinschreibst, ja.
Gruß vom
Roadrunner
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Ok vielen Dank !!
Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.
(1) [mm] \limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty
[/mm]
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0 [/mm]
Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das aus?
Vielen Dank!
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Hallo mtr,
> Ok vielen Dank !!
>
> Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du
> dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.
>
> (1) [mm]\limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty[/mm]
Achtung, die Limesvariable ist nicht n sondern x; ansonsten wäre der Term ja konstant 
Das stimmt vom Ergebnis, ist aber nicht schön aufgeschrieben ...
>
> (2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0[/mm]
>
> Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das
> aus?
Ja, das ist gut!
>
> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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Wie könnte ich es besser aussehen lassen?
Danke!
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Hallo mtr-studi!
Knackpunkt ist hier die Darstellung mit der Null im Nenner.
Eine Variante wäre hier eine Substitution:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2+0}\bruch{2x+1}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{n\rightarrow \infty}}\bruch{2*\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}+1}{\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{4+\bruch{2}{n}+1}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{5*n+2}{1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}(5*n+2) [/mm] \ = \ [mm] +\infty$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Do 14.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ok, vielen Dank, ich habe es hinbekommen!
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Wie bitte?
Potenzgesetzen