Berechnung von Bezierkurven < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 05.08.2005 | | Autor: | hupfdule |
Hallo,
ich habe folgendes Problem. Ich habe eine gegebene Funktion [mm]\bruch {2}{x}[/mm]. Diese möchte ich in einem Java2D Shape-Objekt darstellen (ist für die Beantwortung der Frage nicht relevant, nur zur Info).
Problem dabei ist, dass ich dieses Shape-Objekt nur in Form einer Bezierkurve darstellen kann, also 2 Punkte + ein Kontrollpunkt.
Leider habe ich davon herzlich wenig Ahnung. Was ich ungefähr weiß ist, dass der Kontrollpunkt der Punkt sein soll, an dem sich zwei Tangenten der Ableitung der Funktion kreuzen. Ist das so weit korrekt?
Also die Ableitung o.g. Funktion wäre [mm] \bruch {-2} {x^2}[/mm]. Nur wie errechne ich jetzt die Tangenten? Ist es dabei für die Berechnung des Kontrollpunktes relevant, welche Tangenten (also die Tangenten an welchen Punkten) ich dafür verwende?
Gruß
Marco
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Hallo hupfdule,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> ich habe folgendes Problem. Ich habe eine gegebene Funktion
> [mm]\bruch {2}{x}[/mm]. Diese möchte ich in einem Java2D
> Shape-Objekt darstellen (ist für die Beantwortung der Frage
> nicht relevant, nur zur Info).
> Problem dabei ist, dass ich dieses Shape-Objekt nur in
> Form einer Bezierkurve darstellen kann, also 2 Punkte + ein
> Kontrollpunkt.
Die allgemeine Form einer Bezierkurve 2. ten Grades lautet:
[mm]B_{2} \left( t \right)\; = \;b_{0} \;\left( {1\; - \;t} \right)^{2} \; + \;b_{1} \;2\;t\;\left( {1\; - \;t} \right)\; + \;b_{2} \;t^{2}[/mm]
Ich nehme an, mit den 2 Punkten sind Anfangs- und Endpunkt eines Intervalles gemeint.
Hier lassen sich dann die Kontrollpunkte [mm]b_{0}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] leicht bestimmen. Den Kontrollpunkt [mm]b_{0}[/mm] erhält man für den Parameter [mm]t\;=\;0[/mm]. Ebenso erhält man den Kontrollpunkt [mm]b_{2}[/mm] man für den Parameter [mm]t\;=\;1[/mm].
Der Kontrollpunkt [mm]b_{0}[/mm] ist hierbei der Anfangspunkt eines Intervalles, während der Kontrollpunkt [mm]b_{2}[/mm] der Endpunkt eines Intervalles ist.
>
> Leider habe ich davon herzlich wenig Ahnung. Was ich
> ungefähr weiß ist, dass der Kontrollpunkt der Punkt sein
> soll, an dem sich zwei Tangenten der Ableitung der Funktion
> kreuzen. Ist das so weit korrekt?
Das ist korrekt.
>
> Also die Ableitung o.g. Funktion wäre [mm]\bruch {-2} {x^2}[/mm].
> Nur wie errechne ich jetzt die Tangenten? Ist es dabei für
> die Berechnung des Kontrollpunktes relevant, welche
> Tangenten (also die Tangenten an welchen Punkten) ich dafür
> verwende?
Es verbleibt nur noch die Frage nach dem Kontrollpunkt [mm]b_{1}[/mm].
Diesen erhältst Du in dem Du zunächst die Tangentengleichungen an dem Anfangspunkt und Endpunkt aufstellst und diese zum Schnitt bringst.
In der Regel liegt der Kontrollpunkt [mm]b_{1}[/mm] in der Mitte eines Intervalles, also für den Parameter [mm]t\;=\;0,5[/mm].
Konkret heisst das, dass diese Gleichung zu lösen ist:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_s } \\
{y_s } \\
\end{array} } \right)\; = \;B_2 \left( {\frac{1}
{2}} \right)\; = \;b_0 \;\frac{1}
{4}\; + \;b_1 \;\frac{1}
{2}\; + \;b_2 \;\frac{1}
{4}
[/mm]
Gruß
MathePower
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