Berechnung nach Taylor < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 26.01.2010 | | Autor: | Robbe007 |
| Aufgabe | Man berechne nach dem Taylorschen Satz bis auf 3 Stellen nach dem Komma genau:
[mm] (a)e^2 [/mm] = exp(2)
[mm] (b)\wurzel[10]{1000} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Mathefreunde,
ich brauche mal Hilfe bei dieser Aufgabe, komme einfach nicht weiter.
Meine Idee ist:
Ich setze das Restglied der Taylorentwicklung < 10^(-3)
| [mm] R_{n} [/mm] (x) | < 10^-3 so dann rechne ich es stur nach der formel aus und schätze ab:
[mm] |R_{n} [/mm] (x)|= |(exp(c))/((n+1)!)*x^(n+1)| <= |(x^(n+1))/((n+1)!)| < 10^-3
für x = 2 folgt (2^(n+1))/((n+1)!) nun muss ich ja n ausrechnen um zu wissen welches n-te Taylorpolynom ich nehmen muss damit der Fehler < 10^-3 ist?
wie soll ich das anstellen? und zur b) weiß ich garnicht was ich da machen soll weil es ist ja keine richtige Funktion? bei exp(2) weiß man ja es handelt sich um die e- funktion... Ich hoffe man kann mir weiterhelfen.
LG Robbe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Robbe007 |
wieso antwortet mir denn keiner, weiß niemand wie er mir weiterhelfen kann?
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Sicher bin ich mir auch nicht, aber erstmal habe ich [mm] 10^{-4 }gewählt. [/mm] Dritte Stelle hinterm Komma soll ja auch richtig sein. Kann mich aber auch irren.
zur a) Erstmal [mm] e^x [/mm] in eine Taylorreihe bringen und [mm] x_{o}=0 [/mm] wählen. [mm] T_{n}f(x,0)= \summe_{k=0}^{n} \bruch{e^{0}}{k!} (x-0)^{k} [/mm]
Restglied: [mm] |R_{n}(x)|< 10^{-4} [/mm] <=> [mm] |R_{n}(x)| [/mm] = | [mm] (\bruch{e^{c}^{n+1}}{(n+1)!} x^{n+1}| [/mm] mit c [mm] \in [/mm] [x,0] soll eigentlich [mm] c^{(n+1)} [/mm] als n+1-te Ableitung sein, lies sich nur nicht darstellen -.-'
Setz das Restglied kleiner [mm] 10^{-4} [/mm] (durch abschätzung [mm] e^{c} [/mm] eliminieren)
Nun nur noch 2 einsetzen und n erhalten.
Das gescuhte n in die Reihedarstellung von [mm] e^{x} [/mm] für x= 2 einsetzen. Taschenrechner die Reihe ausrechnen lassen. Vergleich dein Ergebnis mit dem eigentlichen Taschenrechnerergebnis von [mm] e^{2}.
[/mm]
Bei der b) komm ich auch nicht sehr weit. Da die Reihe irgendwie keinen Sinn machen will xD
Hoffentlich hilft dir das ^^
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Hallo Robbe007,
> Man berechne nach dem Taylorschen Satz bis auf 3 Stellen
> nach dem Komma genau:
>
> [mm](a)e^2[/mm] = exp(2)
> [mm](b)\wurzel[10]{1000}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich brauche mal Hilfe bei dieser Aufgabe, komme einfach
> nicht weiter.
>
> Meine Idee ist:
>
> Ich setze das Restglied der Taylorentwicklung < 10^(-3)
>
> | [mm]R_{n}[/mm] (x) | < 10^-3 so dann rechne ich es stur nach der
> formel aus und schätze ab:
>
> [mm]|R_{n}[/mm] (x)|= |(exp(c))/((n+1)!)*x^(n+1)| <=
> |(x^(n+1))/((n+1)!)| < 10^-3
>
> für x = 2 folgt (2^(n+1))/((n+1)!) nun muss ich ja n
> ausrechnen um zu wissen welches n-te Taylorpolynom ich
> nehmen muss damit der Fehler < 10^-3 ist?
Den Ausdruck
[mm]\bruch{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}[/mm]
mußt Du durch geeignete Konstanten abschätzen.
Das machst Du wie folgt:
[mm]\bruch{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}=\produkt_{l=0}^{n+1}\bruch{2}{n+1} = \bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\produkt_{l=2}^{n+1}\bruch{2}{n+1}=2*1*\produkt_{l=2}^{n+1}\bruch{2}{n+1}[/mm]
Da [mm]\bruch{2}{n+1}[/mm] für [mm]n >= 2[/mm]
sicher kleiner oder gleich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ist, gilt:
[mm]\bruch{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!} <= 2*1*\left( \bruch{2}{3} \right)^{n-1}[/mm]
Dies ist eine erste Abschätzung nach oben für [mm]\bruch{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}[/mm]
Eine bessere Abschätzung ist z.B.
[mm]\bruch{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!} <= 2*1*\left( \bruch{2}{3} \right)^{2}*\left( \bruch{2}{5} \right)^{n-3}[/mm]
Analog geht das für die Anschätzung nach unten.
>
> wie soll ich das anstellen? und zur b) weiß ich garnicht
> was ich da machen soll weil es ist ja keine richtige
> Funktion? bei exp(2) weiß man ja es handelt sich um die e-
> funktion... Ich hoffe man kann mir weiterhelfen.
>
Naheliegend ist hier die Taylorreihe von [mm]\wurzel[10]{x}[/mm]
um den Entwicklungspunkt 1 zu betrachten.
> LG Robbe007
>
Gruss
MathePower
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Bei Teilaufgabe b habe ich so meine Probleme.
[mm] f(x)=x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{10}\*x^{\bruch{-9}{10}}
[/mm]
etc
[mm] T_{n}f(x,1)=\summe_{k=0}^{n} \wurzel[10]{1}^{k}\bruch{1}{k!}\*(x-1)^{k}
[/mm]
Ich habe mir daraus folgende Reihendarstellung gebastelt:
[mm] f(x)=1+\bruch{x-1}{10}+\summe_{k=2}^{n} (-1)^{k}\* \bruch{(x-1)^{k}}{10^{k}\*k!}\* \produkt_{k=2}^{n}10k-1
[/mm]
So umständlich wie die aussieht, hab ich sicher einen Denkfehler. Jedenfalls komme ich damit auch nicht weiter.
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 27.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk nicht , dass man bei 1000 die Taylorentwicklung bei 1 anfangen sollte,( dann braucht man endlos viele Glieder) sondern bei [mm] 2^{10}=1024
[/mm]
Dann [mm] 1000^{1/10}=2*(1-24/1024)^{1/10}
[/mm]
und jetzt [mm] (1-u)^{1/10} [/mm] um u=0 entwickeln. und bei u=24/1024 auswerten. Dann brauchst du keine lange Reihe sondern nur sehr wenige Ableitungen, weil ja u klein ist.
Gruss leduart
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Ich bin jetzt soweit, dass ich mir eine neue Reihendarstellung daraus entwickelt habe.
f(x)= 2+x-2^10+ [mm] \summe_{k=3}^{n}\bruch{2^{-k+1}}{k!}\*(x-2^{10})^{k}
[/mm]
Mit deinen weiteren Hilfen konnt ich dann weniger anfangen. Eigentlich muss ich danach ja mir das n ausrechnen über das Restglied. Das wäre: [mm] |R_{n}(x)|<|\bruch{\wurzel[10]{c}^{n+1}}{(n+1)!}\*(x-2^{10})^{n+1}|\le 10^{-4}
[/mm]
Irgendwie c raus durch Abschätzung, n ausrechnen und in der Reihendarstellung anwenden. (So wurds mir erklärt und so funktionierte es bei der a) auch gut)
Kannst du mir nochmal erklären, wie du auf eine weitere Taylorentwicklung kommst und wieso diese?
Danke schon mal im Voraus =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Könntest du sagen, für welche fkt f(x) das ein Taylorpolynom sein soll? ich kapiers nicht.
und was ist x, das du einsetzen willst?
offensichtlich ist nur, dass du um den Punkt [mm] 2^{10} [/mm] entwickelst. Wieso steht in deinem Restglied wieder ne 10te Wurzel?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Do 28.01.2010 | | Autor: | Crashkurs |
Also wenn [mm] 2^{10} [/mm] der Entwicklungspunkt ist, muss ich das ja in die Funktion einsetzen. Sprich [mm] \wurzel[10]{2^{10}}
[/mm]
Taylorpolynom [mm] \summe_{k=0}^{n}(\wurzel[10]{2^{10}})^{k}\*\bruch{1}{k!}\*(x-2^{10})^{k}
[/mm]
Anhand dessen hab ich [mm] \summe_{k=0}^{n}k\*\bruch{2^{-k+1}}{k!}\*(x-2^{10})^{k}
[/mm]
Mit dem Kram kam ich halt nicht weiter.
Hab das ganze dann wie du sagtest mit [mm] 2(1-24/1024)^{\bruch{1}{10}} [/mm] erneut versucht.
Daraus eine Reihendarstellung zu finden, war etwas schwerer und da muss auch mein Fehler liegen. Denn Ich lande am Schluss immer bei knapp über 2 statt drunter.
Die Geschichte mal abgetippt: [mm] 2+\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\*2\produkt_{k=2}^{2}9\produkt_{k=3}^{n}(10k-11)\*\bruch{1}{10^{k}k!}\*\bruch{24}{1024}^{k}
[/mm]
Sieht blöd aus, aber anders hab ich einige Zähler nicht vernünftig reinbekommen ^^
Hoffentlich kann mir wer noch helfen =)
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Kleine zwischenfrage zur a)
Hab für die Restgliedabschätzung (Lagrange) von :
[mm] \bruch{e^y}{(n+1)!} [/mm] * x^(n+1) folgendes gemacht:
Entwicklungspunkt: a=0 und für x setzt man 2 ein
das y ist dieser Wert der zwischen a und x liegt.
für [mm] e^0 [/mm] gilt ja 1
und für [mm] e^2 [/mm] gilt 7,3....
kann ich dann nicht einfach [mm] \bruch{e^y}{(n+1)!} [/mm] * x^(n+1) <= [mm] 7.5*\bruch{1}{(n+1)!} [/mm] *2^(n+1) gemacht, weil ja das y nicht größer als 2 ist.
Darf man das so machen?
Übrigends danke, dass ich so aktiv bei den Fragen hilft
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da man ja [mm] e^2 [/mm] berechnen soll, ist es wohl nicht erlaubt [mm] e^2 [/mm] zur Abschaetzung zu verwenden. da aber schon die ersten Glieder ergeben, dass e zwischen 2 und 3 liegt kann man sicher [mm] e^2<9 [/mm] abschatzen.
aber wahrscheiinlich ist auch noch 7,5 nicht falsch.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kapiers nicht ganz: schreib doch mal die ersten 3 Ableitungen von [mm] (1-x)^{1/10} [/mm] hin und dann bei x=0 auswerten.
ich denk die 3 ersten müssen reichen, niemand verlangt von dir nen allgemeinen Ausdruck!
Lass den Faktor 2 erst mal weg. einsetzen dann am Ende x=24/1024
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Crashkurs |
Danke für die ganzen Hilfen
Ich weiß grad nicht, wieso die 2 vor der Klammer plötzlich verschwindet, aber naja. Ableitungen: [mm] f'(x)=1/10(1-x)^{\bruch{-9}{10}}\*(-1)
[/mm]
[mm] f''(x)=-9/10²(1-x)^{\bruch{-19}{10}}\*(-1)
[/mm]
[mm] f'''(x)=171/10³(1-x)^{\bruch{-29}{10}}\*(-1)
[/mm]
etc
Nur mit der 2 davor hab ich das auch gemacht. Irgendiwe stimmte da was bei mir mit den Vorzeichen nicht. Da ich ansonsten darüber auch auf das richtige Ergebnis kam. Wie auch immer Zettel ist abgegeben und ein neuer in Arbeit^^
Vielen Dank nochmal
Crashkurs
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| Aufgabe | Berechne:
1. e²=exp(2)
2. [mm] \wurzel[10]{1000} [/mm] |
Ich weiß, den Beitrag gibt es hier schonmal, aber ich komme mit dem taylorsatz irgendiwe trotzdem nicht zurecht. Trotz dem Versuch die Definitionen auseinander zu pflücken und zu verstehen, habe ich es nicht verstanden.
vielleicht kann mir das jemand nochmal an einem anderen beispiel erklären?
Also der satz von taylor besagt ja:
f(x)= [mm] T_n(x)+R_n(x)
[/mm]
[mm] T_n(x)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k
[/mm]
= [mm] f(a)+\bruch{f´(a)}{1!}*(x-a)+\bruch{f"(a)}{2!}*(x-a)^2+...+\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}*(x-a)^n
[/mm]
[mm] R_n(x)= \integral_{a}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}*f^{(n+1)}(t) dx}
[/mm]
Das Problem ist, dass ich immer ein Beispiel brauche, um etwas zu verstehen. z.B. versteh ich nicht, was hier mein a ist und wie ich anfange.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=647751
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:12 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ja, das habe ich schon gelesen, aber da steige ich nicht durch beziehungsweise verstehe es nicht richtig. wie kommt man auf a=0?
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> Berechne:
> 1. e²=exp(2)
> 2. [mm]\wurzel[10]{1000}[/mm]
Hallo,
wir hatten doch neulich schon festgestellt, daß Du die Aufgaben exakt und mit vorhergehenden Teilaufgaben posten sollst, auch mit Dingen, die Du möglicherweise nicht für wichtig hältst, oder bei denen Du keinen Zusammenhang zur Aufgabe siehst.
Hier ist es doch so, daß Du nicht einfach berechnen sollst, sondern es dürften wie bei Deinem Kommilitonen Grenzen für den Fehler angegeben sein, und daß das ganze mit Taylor und nicht mit dem Taschenrechner geschehen soll, hast Du Dir ja auch nicht selbst ausgedacht...
> Ich weiß, den Beitrag gibt es hier schonmal, aber ich
> komme mit dem taylorsatz irgendiwe trotzdem nicht zurecht.
Ich will mal versuchen, Dir diese Taylorsache etwas im Plauderton zu erklären.
Wir haben eine genügend oft diffbare Funktion f.
Das n-te Taylorpolynom [mm]T_n(x)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k[/mm] ist eine Näherung für diese Funktion.
Es hat den Vorteil, ein Polynom zu sein, ist also recht gut zu handhaben.
Das a ist der Entwicklungspunkt. Wenn Du jetzt mal [mm] T_n(a) [/mm] ausrechnest, dann stellst Du fest: [mm] T_n(a)=f(a).
[/mm]
Im Entwicklungspunkt stimmen Taylorpolynom und Funktion also überein.
In der Regel wird es so sein, daß beide umso schlechter übereinstimmen, je weiter weg vom Entwicklungspunkt man geht.
Wir konkretisieren:
nehmen wir f(x)=cos(x).
Ich berechne mal die ersten paar Ableitungen, um anschließend das 0.-4.Taylorpolynom im Entwicklungspunkt 0 aufzustellen:
[mm] f^{(0)}(x)=cos(x) [/mm]
[mm] f^{(1)}(x)=-sin(x) [/mm]
[mm] f^{(2)}(x)=-cos(x) [/mm]
[mm] f^{(3)}(x)=sin(x) [/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=cos(x) [/mm]
n-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_n(x)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*(x-0)^k[/mm]= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k$
[/mm]
0-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_0(x)= \summe_{k=0}^{0}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k[/mm]=\bruch{f^{(0)}(0)}{0!}*x^0=\bruch{cos(0)}{0!}*1=1$
[/mm]
1-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_1(x)= \summe_{k=0}^{1}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k[/mm]=\bruch{f^{(0)}(0)}{0!}*x^0+\bruch{f^{(1)}(0)}{1!}*x^1=1$
[/mm]
2-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_2(x)= \summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k[/mm]=\bruch{f^{(0)}(0)}{0!}*x^0+\bruch{f^{(1)}(0)}{1!}*x^1+\bruch{f^{(2)}(0)}{2!}*x^2=1-\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
3-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_3(x)= \summe_{k=0}^{3}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k[/mm]=\bruch{f^{(0)}(0)}{0!}*x^0+\bruch{f^{(1)}(0)}{1!}*x^1+\bruch{f^{(2)}(0)}{2!}*x^2+\bruch{f^{(3)}(0)}{3!}*x^3=1-\bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
4-tes Taylorpolynom im Entwicklungspunkt a=0:
[mm] $T_4(x)= \summe_{k=0}^{4}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k[/mm]=\bruch{f^{(0)}(0)}{0!}*x^0+\bruch{f^{(1)}(0)}{1!}*x^1+\bruch{f^{(2)}(0)}{2!}*x^2+\bruch{f^{(3)}(0)}{3!}*x^3++\bruch{f^{(3)}(0)}{3!}*x^3\bruch{f^{(4)}(0)}{4!}*x^4=1-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{24}x^4$
[/mm]
Wenn Du Dir die Funktion f und die Taylorpolynome plottest, dann siehst Du schön, wie die Näherung im Bereich des Entwicklungspunktes immer besser wird.
(Wenn Du Dich für eine Stelle Interessierst, die in der Nähe von sagen wir [mm] \pi/2 [/mm] liegt, kannst Du natürlich auch an dieser Stelle eine Taylorentwicklung machen - das überlasse ich aber Dir.)
Nun kann es sein, daß ich mich z.B. für f(0.25) interessiere.
Durch Einsetzen ins Taylorpolynom bekomme ich Näherungswerte, fürs größere Taylorpolynom die besseren.
Man möchte natürlich wissen, wie gut die Näherung ist.
Auskunft darüber gibt das Restglied
$ [mm] R_n(x)= \integral_{a}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}\cdot{}f^{(n+1)}(t) dx} [/mm] $,
bei Entwicklung im Punkt 0 lautet es $ [mm] R_n(x)= \integral_{0}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}\cdot{}f^{(n+1)}(t) dx} [/mm] $.
Es liefert das Restglied die Differenz zwischen Taylorpolynom und Funktion, und wenn wir dieses Restglied abschätzen, wissen wir, um wieviel unsere näherung maximal vom wahren Funktionswert abweicht.
Sicher hattest Ihr auch das Lagrange-Restglied, es ist recht bequem, weil hierbei nicht integriert werden muß:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} [/mm] für ein ξ zwischen a und x.
Nun können wir uns mal vorstellen, daß wir gerade [mm] T_2(0.25) [/mm] ausgerechnet haben, [mm] T_2(0.25)=\bruch{31}{32}, [/mm] und nun wollen wir wissen, wie groß der Fehler ist.
Es ist
|f(0.24) - [mm] T_2(0.25)|=| \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}0.25^3|= [/mm] | [mm] \frac{sin(\xi)}{3!}0.25^3| [/mm] für ein ξ zwischen 0 und 0.25.
Abschätzen (Verlauf v. sin beachten):
...= | [mm] \frac{sin(\xi)}{3!}0.25^3|\le \frac{sin(0.25)}{3!}0.25^3. [/mm]
Damit hat man eine Grenze für den Fehler - ich mag sie grad nicht weiter ausrechnen mangels Rechenmaschine.
Ich hoffe, daß ich keine fehler eingebaut habe, und daß Du Dir die zeit nimmst, dies anhand Deiner Unterlagen in allen Einzelheiten zu durchdenken.
Du solltest nicht aufs Plotten verzichten, ich finde, man sollte mal sehen, was man tut.
Soviel erstmal zur Taylorformel.
Gruß v. Angela
> Trotz dem Versuch die Definitionen auseinander zu pflücken
> und zu verstehen, habe ich es nicht verstanden.
>
> vielleicht kann mir das jemand nochmal an einem anderen
> beispiel erklären?
>
> Also der satz von taylor besagt ja:
>
> f(x)= [mm]T_n(x)+R_n(x)[/mm]
>
> [mm]T_n(x)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k[/mm]
>
> =
> [mm]f(a)+\bruch{f´(a)}{1!}*(x-a)+\bruch{f"(a)}{2!}*(x-a)^2+...+\bruch{f^{(n)}(a)}{n!}*(x-a)^n[/mm]
>
> [mm]R_n(x)= \integral_{a}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}*f^{(n+1)}(t) dx}[/mm]
>
>
> Das Problem ist, dass ich immer ein Beispiel brauche, um
> etwas zu verstehen. z.B. versteh ich nicht, was hier mein a
> ist und wie ich anfange.
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Danke Angela, ich denke das hilft mir schonmal weiter.
ich schau mir das nochmal gut an und versuche es auf mein Beispiel zu übetragen. Meine Rechnung poste ich dann auch hier!
Ach ja, kann ich a frei wählen? Das ist mir noch unklar.
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> Danke Angela, ich denke das hilft mir schonmal weiter.
> ich schau mir das nochmal gut an und versuche es auf mein
> Beispiel zu übetragen. Meine Rechnung poste ich dann auch
> hier!
Und die komplette Aufgabnstellung nicht vergessen.
>
> Ach ja, kann ich a frei wählen? Das ist mir noch unklar.
Hallo,
ja. Du kannst eine vorgegebene Funktion an verschiedensten Stellen entwickeln, wenn Dir danach zumute ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Die komplette Fragestellung lautet also:
Man berechne nach dem Taylorschen satz bis auf 3Stelen nach dem Komma genau.
a) e²=exp(2)
[mm] b)\wurzel[10]{1000}
[/mm]
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> Die komplette Fragestellung lautet also:
>
> Man berechne nach dem Taylorschen satz bis auf 3Stelen nach
> dem Komma genau.
>
> a) e²=exp(2)
> [mm]b)\wurzel[10]{1000}[/mm]
... und vorher wurden doch bestimmt die zugehörigen Taylorreihen bzw. -polynome aufgestellt. (?)
Gruß v. Angela
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DAS ist die komplette Aufgabe!
In der Vorherigen (freiwilligen) Aufgabe ging es um Newton Verfahren...
es düfte eigentlich nichts fehlen, wobei ich trotzdem schwierigkeiten habe, einen Anfang zu bekommen....
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 28.01.2010 | | Autor: | Robbe007 |
ne mehr gabs da nicht zur aufgabe... aber ich denke es ist so gewollt das wir uns selbst eine reihe entwickeln.
so jetzt mal zur b) wenn ich jetzt mal die funktion [mm] 1000^x [/mm] nehme und für x= 1/10 einsetzte habe ich ja nichts daran verändert... ist dann die reihendarstellung so korrekt? :
[mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{ln(1000)^n}{n!} *(\bruch{1}{10})^n
[/mm]
nur damit ich weiß ob ich damit weiterrechnen kann oder wieder von neu anfangen sollte =)
Gruß robbe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub nicht, dass der Sinn der Aufgabe ist, statt [mm] 1000^{1/10} [/mm] zu bestimmen ln(1000) zu benutzen. der Sinn von Taylorreihen ist doch, dass ma mit Hilfe von Polynomen mit rationalen Koeffizienten ne reelle Zahl approximiert.
hier brauchst du wieder für ln(1000) zuerst ein Taylorpolynom, was ln(1000) genügend genau approximiert. Du hast das Problem also einfach verschoben.
warum die rationalen Polynome? jeder Kcomputer und TR kann in Wirklichkeit nur ganze Zahlen addieren und subtrahieren, daraus dann auch ganze Zahlen multiplizieren und dividieren.
wenn also ein computer ln(1000) oder [mm] 1000^{1/10} [/mm] ausrechnen soll, hat ihm jemand beigebracht, das mit solchen Operationen zu tun. versetz dich also in die lage, du hast einen TR der nur multipl. dividieren und addieren kann und du willst eines von beiden berechnen. Das ist deine Aufgabe!
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann sollst du selbst ne geeignete Stelle finden, um die du entwickelst. Da der Fehler umso kleiner ist, je näher der funktionswert ist, sollte man nen einfachen Wert in der nähe nehmen. bei [mm] e^2 [/mm] gibts nur [mm] e^0 [/mm] , was man genau kennt, also um 0 entwickeln bei f(x) [mm] x^{1/10} [/mm] mit x=1000 ist 1024 der nächste Wert, wo man f(x) exakt kennt, also darum entwickeln bzw, wie ich oben gesagt hab 2 aus der Wurzel rausziehen und [mm] (1-u)^{1/10} [/mm] um u=0 entwickeln.
Gruss leduart
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