Berechnung eines Integrals < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Berechnen sie
[mm] \integral_{\left| z \right|
=5}^{}{\bruch{1}{sin(1+\bruch{1}{z})}}{ dz} [/mm] |
Hi,
so einfach die Aufgabe gestellt ist, so wenig finde ich einen Ansatz.
Ich würde das Integral liebend gerne berechnen, daher würde ich mich freuen wenn mir jemand einen kleinen Hinweis geben könnte wie ich das anstellen soll. Die VL und die zwei Bücher die ich habe helfen mir irgendwie nicht.
Vielen lieben Dank,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Olek!
> Berechnen sie
> [mm]\integral_{\left| z \right|
=5}^{}{\bruch{1}{sin(1+\bruch{1}{z})}}{ dz}[/mm]
>
> Hi,
> so einfach die Aufgabe gestellt ist, so wenig finde ich
> einen Ansatz.
> Ich würde das Integral liebend gerne berechnen, daher
> würde ich mich freuen wenn mir jemand einen kleinen Hinweis
> geben könnte wie ich das anstellen soll. Die VL und die
> zwei Bücher die ich habe helfen mir irgendwie nicht.
Versuch doch erst einmal, mit der Substitution $z=1/u$ den unangenehmen Term im Nenner zu vereinfachen!
Danach hilft vielleicht die Cauchysche Integralformel oder der Residuensatz.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 26.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Hi rainerS und alle andere Mathematiker,
Ich hab dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und hab schon mit Hilfe von Substitution [mm] \integral_{|u|=\bruch{1}{5}}^{}{ \bruch{1}{sin(1+u)u^2}du}
[/mm]
Die Singularitätsstellen sind einmal u=0 und einmal u=k [mm] \pi [/mm] -1 , wobei nur u=0 und [mm] u=\pi [/mm] -1 im Innengebiet von [mm] |u|=\bruch{1}{5} [/mm] liegen.Leider komm ich mit C-integralsatz nicht weiter.Würde gern wisse, ob ich bis jetzt richtig vorgegangen bin.Und ob man mit Hilfe von C-integralsatz hier weiter kommt!
Lg V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi rainerS und alle andere Mathematiker,
> Ich hab dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und hab schon mit
> Hilfe von Substitution [mm]\integral_{|u|=\bruch{1}{5}}^{}{ \bruch{1}{sin(1+u)u^2}du}[/mm]
>
> Die Singularitätsstellen sind einmal u=0 und einmal u=k [mm]\pi[/mm]
> -1 , wobei nur u=0 und [mm]u=\pi[/mm] -1 im Innengebiet von
> [mm]|u|=\bruch{1}{5}[/mm] liegen.
Aber [mm] $|\pi-1| [/mm] > 1/5$, also nur u=0.
> Leider komm ich mit C-integralsatz
> nicht weiter.Würde gern wisse, ob ich bis jetzt richtig
> vorgegangen bin.Und ob man mit Hilfe von C-integralsatz
> hier weiter kommt!
Du wendest am besten die Integralformel an:
[mm]2\pi i f^{(n)}(z) = n! \integral_\gamma \bruch{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du [/mm]
wobei [mm] $\gamma$ [/mm] eine geschlossene Kurve ist und z im Inneren des von [mm] $\gamma$ [/mm] eingeschlossenen Gebietes liegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Vielen Dank rainerS.
Lg. V.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 26.05.2008 | | Autor: | verkackt |
Noch eine kleine Verständnisfrage:
> [mm]2\pi i f^{(n)}(z) = n! \integral_\gamma \bruch{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du[/mm]
>
> wobei [mm]\gamma[/mm] eine geschlossene Kurve ist und z im Inneren
> des von [mm]\gamma[/mm] eingeschlossenen Gebietes liegt.
Ich dachte hierbei z handelt es um eine Singularitätsstelle, die im [mm] \gamma [/mm] liegt.Sei jetzt meine [mm] f(u)=\bruch{1}{sin(1+u)}, [/mm] dann ist z=0 keine Singularität davon!! Soll man eine andere f(u) defienieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Noch eine kleine Verständnisfrage:
>
> > [mm]2\pi i f^{(n)}(z) = n! \integral_\gamma \bruch{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]\gamma[/mm] eine geschlossene Kurve ist und z im Inneren
> > des von [mm]\gamma[/mm] eingeschlossenen Gebietes liegt.
> Ich dachte hierbei z handelt es um eine
> Singularitätsstelle, die im [mm]\gamma[/mm] liegt.
Nein, die Formel gilt für Funktionen, die überall im Inneren holomorph sind, also keine Singularitäten haben.
> Sei jetzt meine
> [mm]f(u)=\bruch{1}{sin(1+u)},[/mm] dann ist z=0 keine Singularität
> davon!!
Das ist richtig, denn sonst würde die Integralformel nicht gelten.
Viele Grüße
Rainer
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