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Hallo und frohe Weihnachten allerseits,
habe hier eine kleine Aufgabe die sich nach einigen Umformungen als ziemlich kniffelig entpuppt.
Die Oberfläche die gegeben ist durch
[mm] \vec{x}(u,v)=\vektor{acos(u) \\ bsin(u)cos(v) \\ bsin(u)sin(v)} [/mm] mit $B: [mm] \begin{matrix} 0\le u\le\pi \\ 0\le v\le 2\pi \end{matrix}$ [/mm]
soll bestimmt werden.
Die Oberfläche wird in der Parameterform bekanntlicherweise durch $A= [mm] \integral\integral_{(A)}^{}{dA}=\integral\integral_{(B)}^{}{\vmat{\bruch{\partial\vec{x}}{\partial u}\times\bruch{\partial\vec{x}}{\partial v}}dudv}$ [/mm] berechnet.
[mm] \bruch{\partial\vec{x}}{\partial u}=\vektor{-asin(u) \\ bcos(u)cos(v) \\ bcos(u)sin(v)} \bruch{\partial\vec{x}}{\partial v}=\vektor{0 \\ -bsin(u)sin(v) \\ bsin(u)cos(v)}
[/mm]
Rechnet man den Betrag des Vektorprodukt aus und setzt es in das Integral ein, ergibt sich folgender Ausdruck:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} {bsin(u)\wurzel{a^2sin^2(u)+b^2cos^2(u)}dudv}
[/mm]
Und hier hänge ich, da ich bisher keine Möglichkeit gefunden habe den Ausdruck so zu verändern damit er integriebar wird.
Ich bin mir recht sicher das der Ausdruck die Oberfläche eines Ellipsoiden beschreibt. Somit wäre das Erbegnis dann sicher [mm] $4\pi [/mm] ab$
Wäre aber toll wenn hier jemand einen Vorschlag hätte, wie man die Integration durchführen kann.
Das Ganze ist überhaupt nicht dringend, sondern dient einfach nur der Befriedigung meines Interesses ;)
Gruß NoUse
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Hallo NoUse,
hier sind Subsitutionen hilfreich.
Zunächst wird die Subsitution
[mm] z = cos(u) [/mm]
ausgeführt.
Dann habe ich ein Integral der Gestalt
[mm]\integral {\wurzel{\alpha + \beta z^2} dz}[/mm]
Hier wird dann eine Fallunterscheidung hinsichtlich
[mm]\beta[/mm] gemacht
Dies führt dann auf ein einfacher handzuhabendes Integral.
Gruss
MathePower
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Hallo,
die Formeln für die Oberfläche eines Rotationsellpsoides lauten
b>a: [mm]2\pi {\rm{ab}}\;\left( {\frac{{{\rm{arsinh}}\left( \varepsilon \right)}}{\varepsilon }\; + \;\sqrt {1\; + \;\varepsilon ^2 } } \right)[/mm]
b<a: [mm]2\pi {\rm{ab}}\;\left( {\frac{{{\rm{arcsin}}\left( \varepsilon \right)}}{\varepsilon }\; + \;\sqrt {1\; - \;\varepsilon ^2 } } \right)[/mm]
b=a: [mm]4\pi {\rm{ab}}[/mm]
mit
[mm]\varepsilon \; = \;\frac{{\sqrt {\left| {b^2 \; - \;a^2 } \right|} }}{a}
[/mm]
Die Formeln für b>a und b<a stimmen auch, wenn der Grenzübergang für
[mm]\varepsilon \to 0[/mm] betrachtet wird.
Gruss
MathePower
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Ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe, wenn ich mal wieder mehr Zeit habe, werde mal die komplette Herleitung hier posten 
Gruß NoUse
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