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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Berechnung eines Integrals
Berechnung eines Integrals < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung eines Integrals: Schöne Aufgabe !
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:24 Mi 16.03.2016
Autor: fred97

Aufgabe
Mir ist mal wieder eine schöne Aufgabe über den Weg gelaufen:

Sei  [mm] $B:=\{(x,y) \in \IR^2: (x+1)^2+y^2 \le 9, (x-1)^2+y^2 \ge 1\}$ [/mm] und [mm] $f(x,y):=x^3-3xy^2$. [/mm]

Man berechne [mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)}. [/mm]



Die Berechnung "zu Fuß" ist mühsam ! Es geht weniger leidvoll !

EDIT: weniger leidvoll bedeutet: mit harmonischen Mitteln.

Hat jetzt jemand eine Idee ?


Meine übliche Bitte an jemanden der Moderatoren: Kennzeichnung der Aufgabe in der gewohnten Weise.

Gruß FRED

        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Di 22.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:31 Sa 09.04.2016
Autor: Richie1401

Lange nicht mehr hier gewesen, aber dennoch diese unbeantwortete Aufgabe gefunden.

Zum einen sollte man feststellen, dass für [mm] D_1:=\{ (x,y) \in \IR^2: (x-1)^2+y^2 \ge 1 \} [/mm] und [mm] D_2:=\{(x,y) \in \IR^2: (x+1)^2+y^2 \le 9 \} [/mm] gilt [mm] D_1\subseteq D_2. [/mm]

Also genügt es die Differenz zu betrachten. Da [mm] \Delta{}f(x,y)=0 [/mm] ist die Funktion harmonisch und die Mittelwerteigenschaft kann genutzt werden, also

[mm] \int_D f(x,y)d(x,y)=\int_{D_2}f(x,y)d(x,y)-\int_{D_1}f(x,y)d(x,y)=f(-1,0)|D_2|-f(1,0)|D_1|=-3^2\pi-\pi=-10\pi [/mm]

Bezug
                
Bezug
Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:36 Sa 09.04.2016
Autor: fred97

Hallo Richie,

schön, dass Du das richtige harmonische Mittel gefunden hast !

Gruß FRED

Bezug
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