Berechnung einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die lineare Abbildung $a: [mm] \IR^4 \to \IR^3$ [/mm] habe bezüglich der Basen
[mm]
B = \left ( \pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 } , \pmat{ -1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ -2 \\ 2 \\ -1 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 } \right )
$ und $
C = \left ( \pmat{ 3 \\ 0 \\ -1 } , \pmat{ 4 \\ -1 \\ 0 } , \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 } \right )
[/mm]
die Matrix
[mm]
a' = \pmat { 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1} .
[/mm]
Berechnen sie $a$ als Matrix $a [mm] \in [/mm] Mat(3 [mm] \times [/mm] 4, [mm] \IR [/mm] ) $. |
Hierzu habe ich eine reine Verständnisfrage, denn ich weiß schlichtweg nicht, was mit $a'$ gemeint sein soll. Weiß vielleicht jemand, was meine Dozentin von mir will? 
LG ~W
(EDIT)
Könnte vielleicht die Aufgabe sein, die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasen zu berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 20.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Könnte vielleicht die Aufgabe sein, die Darstellungsmatrix
> bezüglich der Standardbasen zu berechnen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die Formulierung der Aufgabe hinkt etwas, aber genau das ist gemeint. Du suchst also eine Matrix T, die die Standardbasis des [mm] $\IR^4$ [/mm] auf B abbildet und eine Matrix S, die die Standardbasis von [mm] $\IR^3$ [/mm] auf C abbildet. Dann ergibt sich a zu [mm] $a=T\cdot a'\cdot S^{-1}$. [/mm] Stichwort: Transformationsformel!
Gruß, zetamy
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Warum das Inverse zu S?
Sollte das nicht $ a = T * a' * S $ sein?
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> Warum das Inverse zu S?
>
> Sollte das nicht [mm]a = T * a' * S[/mm] sein?
> Die lineare Abbildung [mm]a: \IR^4 \to \IR^3[/mm] habe bezüglich der
> Basen
>
> [mm]
B = \left ( \pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 } , \pmat{ -1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ -2 \\ 2 \\ -1 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 } \right )
$ und $
C = \left ( \pmat{ 3 \\ 0 \\ -1 } , \pmat{ 4 \\ -1 \\ 0 } , \pmat{ 1 \\ 2 \\ -2 } \right )
[/mm]
>
> die Matrix
>
> [mm]
a' = \pmat { 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1} .
[/mm]
>
> Berechnen sie [mm]a[/mm] als Matrix [mm]a \in Mat(3 \times 4, \IR ) [/mm].
Hallo,
nennen wir S die Matrix, die die Basisvektoren von B als Spalten enthält, T die, die die Basisvektoren von C als Spalten enthält.
Was machen diese Matrizen? Sie wandeln Vektoren, die in Koordinaten bzgl. der Basis B bzw. C gegeben sind, in Vekoren bzgl der jeweiligen Standardbasis um.
Die Matrix a' liefert das Bild von Vektoren bzgl B in Koordinaten bzgl C.
Mit Standardkoordinaten können wir a' nicht füttern. sie müssen erst in Koordinaten bzgl B umgewandelt werden, das tut [mm] S^{-1} [/mm] für uns
[mm] a'S^{-1} [/mm] liefert das Bild von Vektoren, die in Standardkoordinaten gegeben sind, in Koordinaten bzgl C. Da wir aber Koordinaten bzgl der Standardbasis wollen, wandeln wir sie mit der Matrix T um und erhalten mit
[mm] Ta'S^{-1} [/mm] die gesuchte Matrix a.
Gruß v. Angela
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