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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:22 So 23.07.2006 | | Autor: | Flieger |
| Aufgabe | Gegen sei die funktion x(t)=3sin(t), y(t)=5sin(2t) 0<=t<=2 [mm] \pi
[/mm]
a) Erstellen Sie eine Wertetabelle(Schrittweise [mm] \pi/6)und [/mm] skizzieren sie die Kurve
b) Berechnen Sie die von der Kurve eingeschlossene Fläche. Benutzen Sie dazu NICHT die Leibniz´sche Sektorenformel. |
Hallo erstmal,
ich habe zu der oben genannten Aufgabe ein Problem.
also zu Teil a)
Wenn ich eine Wertetabelle erstelle habe ich ja einmal
folgendes ausgerechnet:
t 3sin(t)-----5sin(t)
0 0 0
30 [mm] \bruch{3}{2}----- \bruch{5* \wurzel{3}}{2}
[/mm]
usw.
Nun habe ich ein Problem beim Zeichnen.
Habe ich zwei Kurven oder ist es ein Kreis?? Weil ich komme nicht so
ganz klar. Habe ja den Winkel sowie den x und y wert.
Wie skizziere ich die Kurve?
Oder muss ich bevor ich die Wertetabelle erstelle die Parameterdarstellung
in Polarkoordinaten umrechnen??
zu b)
Wenn ich die Skizze der Kurve habe,
kann ich doch folgende Formel benutzen
[mm] \integral_{a}^{b}{y(t)*x[Punkt](t) dx} [/mm] oder?
Vielen Dank
Mfg Flieger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zum Skizzieren:
du hast xy-Wertepaare, das t ist nur ein Parameter.
Zeichne diese Wertepaare und verbinde sie in der Reihenfolge, wie sie in der Liste stehen. Dies ist wichtig, weil sich die Kurve evtl überschneiden könnte, und du dann nicht weißt, welcher Punkt mit welchem verbunden werden muß.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Flieger |
Hallo,
das mit der Skizze habe ich hin bekommen,danke
nun meine Frage zum Intergral, habe ich das so richtig gelöst??
A= [mm] \integral_{0}^{ \pi}{5sin(2t)*3cos(t) dt}
[/mm]
=15 [mm] \integral_{0}^{ \pi}{sin(2t)*cos(t) dt} [/mm] [5 und 3 sind doch konstant oder??]
= [mm] 15\integral_{0}^{ \pi}{2*sin(t)*cos(t)*cos(t) dt}
[/mm]
= [mm] 15\integral_{0}^{ \pi}{2*sin(t)*cos^2(t) dt} [/mm] [2 doch auch konstant oder?]
= [mm] 30\integral_{0}^{ \pi}{sin(t)*u^2 dt} [/mm]
[Sub. u= cos(t) [mm] \gdw [/mm] du=-sin(t) dt [mm] \gdw \bruch{du}{-sin(t)}]
[/mm]
= [mm] -30\integral_{0}^{ \pi}{u^2 du}
[/mm]
= -30[ [mm] \bruch{1}{3}*cos^3(t)]
[/mm]
dann noch die Grenzen einsetzen und dann bekomme
ich -10 als Flächeninhalt raus. Kann das richtig sein??
Vielen Dank nochmal für die Hilfe?
Mfg Flieger
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Hallo Flieger!
Die Stammfunktion hast Du völlig richtig ermittelt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings ist Dir beim Einsetzen der Integrationsgrenzen wohl ein Fehler unterlaufen. Ich erhalte als Endergebnis: [mm] $\integral{...} [/mm] \ = \ +20$ .
Bedenke, dass gilt: [mm] $\cos(\pi) [/mm] \ = \ -1$ bzw. [mm] $\cos(0) [/mm] \ = \ +1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
> Hallo,
> das mit der Skizze habe ich hin bekommen,danke
> nun meine Frage zum Intergral, habe ich das so richtig
> gelöst??
>
> A= [mm]\integral_{0}^{ \pi}{5sin(2t)*3cos(t) dt}[/mm]
>
> =15 [mm]\integral_{0}^{ \pi}{sin(2t)*cos(t) dt}[/mm] [5 und 3 sind
> doch konstant oder??]
> = [mm]15\integral_{0}^{ \pi}{2*sin(t)*cos(t)*cos(t) dt}[/mm]
> =
> [mm]15\integral_{0}^{ \pi}{2*sin(t)*cos^2(t) dt}[/mm] [2 doch auch
> konstant oder?]
> = [mm]30\integral_{0}^{ \pi}{sin(t)*u^2 dt}[/mm]
> [Sub. u= cos(t) [mm]\gdw[/mm] du=-sin(t) dt [mm]\gdw \bruch{du}{-sin(t)}][/mm]
>
> = [mm]-30\integral_{0}^{ \pi}{u^2 du}[/mm]
>
>
> = -30[ [mm]\bruch{1}{3}*cos^3(t)][/mm]
> dann noch die Grenzen einsetzen und dann bekomme
> ich -10 als Flächeninhalt raus. Kann das richtig sein??
eine negative Zahl als Flächeninhalt macht natürlich im allgemeinen nicht so viel sinn.... 
mal im ernst: das integral, das du ansetzt, hat inhaltlich nicht viel (eigentlich gar nichts...) mit deiner aufgabe zu tun. eine methode den eingeschlossenen flächeninhalt zu berechnen wäre die leibnizsche sektorformel. die dürft ihr aber nicht benutzen.
insofern musst du versuchen, der aufgabe mit mehr klassischen integral-methoden beizukommen, dh. flächen unter geeigneten funktionsgraphen berechnen. hast du mittlerweile eine brauchbare skizze von der kurve? wenn ja, schau dir diese mal genau an und überlege, wie du unter ausnutzung von symmetrien die eingschlossene fläche über flächen unterhalb von funktionen berechnen kannst.
Gruß
Matthias
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