Berechnung des Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 So 06.07.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
Ich komm gerade bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen..
Ich soll [mm] \integral_{a}^{b}{e^{x} dx} [/mm] über die Definition des Integrals berechnen.Dabei sol ich das Intervall [a,b] in n gleiche Teile mit Knoten [mm] (x_j)j=0,...,n [/mm] zerlegen.Explizit soll ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_n [/mm] , mit [mm] F_n :=\summe_{j=1}^{n}f(x_j -1)(x_j [/mm] - [mm] x_j [/mm] -1) berechnen.
ICh bin jetzt soweit das ich [mm] f(x)=e^x [/mm] u=a,v=b, [mm] x_j=\bruch{b-a}{n}*j [/mm] und das in die [mm] F_n [/mm] Gleichung eingesetz habe und erhalte jetzt:
[mm] \summe_{j=1}^{n}f(-x_j+1) [/mm] bzw. [mm] \summe_{j=1}^{n}f(-(\bruch{b-a}{n}*j)+1)
[/mm]
Aber wie rechne ich nun weiter?
gruß mempys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 So 06.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du hast da bei den Formeln teilweise Murks geschrieben. Liegt wohl zum Einen daran, dass du es nicht richtig in dem Formeleditor hier geschrieben hast, aber zum Anderen wohl auch daran, dass du falsch eingesetzt hast.
Schreib die Formel sauber hin, setze sauber ein, und mach nen sauberen Grenzübergang. Was rauskommen soll weisst du ja schon... versuch dann einfach die Formel, die du zum Schluss hast, in diese Form, die rauskommen soll, zu pressen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mempys |
hmm...
Also habe nochmal alles durchgesehen,aber es ist alles so wie es sein müsste...
den term [mm] f(x_j-1)(x_j-x_j-1) [/mm] habe ich ausmultipliziert und hab dann [mm] f(-x_j+1) [/mm] erhalten wo ich dnan eingesetzt habe...wo ist der Fehler?
gruß mempys
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mo 07.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zeig mal Deine Rechnungen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mempys |
Hier meine ausführliche Rechnung:
[mm] \integral_{a}^{b}{e^x dx} [/mm] mit den Grenzen [a,b]
[mm] f(x)=e^x [/mm] u=a , v=b (von den Intervallgrenzen) [mm] x_j=\bruch{v-u}{n}*j [/mm] in meinem fall dann [mm] x_j=\bruch{b-a}{n}*j
[/mm]
Gegebene Gleichung [mm] F_n:=\summe_{j=1}^{n}f(x_j-1)(x_j-x_j-1)
[/mm]
Klammern ausmultiplizieren: [mm] x_j^2-x_j^2-x_j-x_j+x_j+1 [/mm] ,bleibt nach dem Kürzen noch [mm] -x_j+1 [/mm] übrig.
[mm] \summe_{j=1}^{n}f(-x_j+1) [/mm] für [mm] x_j [/mm] obrigen Wert einsetzen [mm] \summe_{j=1}^{n}f(-\bruch{b-a}{n}*j+1) [/mm] und nun weiss ich nicht weiter..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hier meine ausführliche Rechnung:
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^x dx}[/mm] mit den Grenzen [a,b]
> [mm]f(x)=e^x[/mm] u=a , v=b (von den Intervallgrenzen)
> [mm]x_j=\bruch{v-u}{n}*j[/mm] in meinem fall dann
> [mm]x_j=\bruch{b-a}{n}*j[/mm]
> Gegebene Gleichung
> [mm]F_n:=\summe_{j=1}^{n}f(x_j-1)(x_j-x_j-1)[/mm]
Das "-1" ist unten am Index! Die Formel sieht so aus: [mm]F_n:=\summe_{j=1}^{n}f(x_{j-1})(x_j-x_{j-1})[/mm]
> Klammern ausmultiplizieren: [mm]x_j^2-x_j^2-x_j-x_j+x_j+1[/mm]
Argh.... was machst du denn? Du hast [mm] f(x_{j-1})*(x_j-x_{j-1}) [/mm] dastehen. Das kannst du doch nicht einfach ausmultiplizieren! Setz' erstmal für [mm]f(x_{j-1})[/mm] [mm]e^{x_{j-1}}[/mm] ein. Und jetzt kannst du weiterrechnen.
> ,bleibt nach dem Kürzen noch [mm]-x_j+1[/mm] übrig.
> [mm]\summe_{j=1}^{n}f(-x_j+1)[/mm] für [mm]x_j[/mm] obrigen Wert einsetzen
> [mm]\summe_{j=1}^{n}f(-\bruch{b-a}{n}*j+1)[/mm] und nun weiss ich
> nicht weiter..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bringst -wenigstens beim Schreiben - Indizes und Zahlen durcheinander.
(tiefgestellte Indizes, die länger als ein Zeichen sind müssen in geschweifte Klammern!)
[mm] x_j-x_{j-1}=(b-a)/n
[/mm]
[mm] f(x_{j-1})=f(a+(j-1)*(b-a)/n)
[/mm]
was du ausmultipl. nennst geht doch gar nicht! wo ist dein (b-a)/n denn geblieben?
und dann setz für [mm] f(x)e^x [/mm] ein und schreib nicht immer das allgemeine hin.
nutze aus dass [mm] e^{r+s}=e^r*e^s.
[/mm]
bisher hast du ja nichts mit der speziellen Funktion getan, dann kannst du nicht weiterkommen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 08.07.2008 | | Autor: | mempys |
Halllo!
Habe heute mit einem Tutor gesprochen und ihn darauf hingewiesen,dass es sich um klein gestellte Zahlen handelt,wurde also fälschlich in die Irre geführt :)
Nun zurück zur Aufgabe:
Bin jetzt nach einsetzen in die [mm] F_n [/mm] Gleichung bei folgendem schritt:
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] f( [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] (j-1)) * [mm] \bruch{b-a}{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{j=1}^{n}e^{\bruch{b-a}{n}} [/mm] * [mm] e^{j-1} [/mm] * [mm] \bruch{b-a}{n}
[/mm]
jetzt sollte es doch aber soweit richtig sein... und was mach ich nun? das [mm] e^{\bruch{b-a}{n}}^ [/mm] und das [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] vor die Sume ziehen??
gruß mempys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Nun zurück zur Aufgabe:
> Bin jetzt nach einsetzen in die [mm]F_n[/mm] Gleichung bei
> folgendem schritt:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] f( [mm]\bruch{b-a}{n}[/mm] (j-1)) *
> [mm]\bruch{b-a}{n}[/mm]
noch richtig!
> = [mm]\summe_{j=1}^{n}e^{\bruch{b-a}{n}}[/mm] * [mm]e^{j-1}[/mm] *
> [mm]\bruch{b-a}{n}[/mm]
das ist falsch!
unter der Summe steht doch [mm] e^{\bruch{b-a}{n}*(j-1)}
[/mm]
und [mm] e^{r*s}\ne e^r*e^s [/mm] ; [mm] e^{r*s}=(e^r)^s
[/mm]
wenn dus richtig hingeschrieben hast zieh alles aus der Summe raus, was nicht summiert wird, das ist nur [mm] \bruch{b-a}{n}. [/mm] dann denk dir [mm] e^{\bruch{b-a}{n}}=q [/mm] und überleg dir ob du die Summe kannst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 09.07.2008 | | Autor: | mempys |
ok,hab den Fehler gesehen dann wird daraus:
[mm] \bruch{b-a}{n} \summe_{j=1}^{n} e^{\bruch{b-a}{n}(j-1)} [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{n} \summe_{j=0}^{n-1} (e^{\bruch{b-a}{n}})^j [/mm] = und dann [mm] \bruch{b-a}{n} \bruch{1+q^n}{1-q^n} [/mm] ? oder welche Gleichung benutze ich für diese Summe ?
gruß mempys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 09.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh hier nach
da stehn dieselben Fragen.
erstmal dein q wieder in das richtige verwandeln
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 09.07.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo! Danke für den Link,..verstehe soweit alles nur habe ich probleme mit dem Lim.. ich weiss das ich fertig bin wenn der Nenner 1 wird aber deinen Vorschlag mit "die Reihe höhere Potenzen von x" versteh ich nicht könnte mir das jmd. bitte nochmal erklären, was ich dort machen soll..
danke im vorraus.
Gruß mempys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Do 10.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du die Reihe, durch die man die e-fkt definieren kann? oder wie habt ihr die e-fkt definiert?
Wenn du sie kennst einfach statt [mm] e^A [/mm] einsetzen!
Gruss leduart
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