Berechnung des Flächeninhaltes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Fr 08.12.2006 | | Autor: | betaepo2 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f(x)= x² und der x-Achse über dem Intervall [0;3] als grenzwert der Obersumme.
Benutzen Sie die Formel [mm] \bruch{1}{6} [/mm] n(n+1)(2n+1). |
Hallo,
bitte die Lösung angeben!
Wozu brauch man die unten genannte Gleichung ?
Mein Ansatz wäre zunächst eine Wertetabelle anzulegen oder wie würdet ihr vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke für die Zuschriften!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 08.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du musst für die Obersumme ja den Flächeninhalt der einzelnen kleinen Rechtecke aufaddieren.
Wenn ich die X-Achse im Intervall in n Teile zerlege, hat jedes dieser Rechtecke die Breite [mm] \bruch{3}{n}
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch die Höhe der Rechtecke, diese ist ja der Funktionswert an der hinteren Ecke des Rechteckes.
Fangen wir mal an:
Das erste Rechteck (von 0 bis [mm] \bruch{3}{n}) [/mm] hat die Höhe [mm] f(\bruch{3}{n})=(\bruch{3}{n})²
[/mm]
das zweite Rechteck geht auf der x-Achse von [mm] \bruch{3}{n} [/mm] bis [mm] 2*\bruch{3}{n} [/mm] hat also die Höhe: [mm] f(2*\bruch{3}{n})=(\bruch{2*3}{n})²
[/mm]
Das ganze geht jetzt erstmal so weiter, bis zum letzten Rechteck mit der Höhe [mm] (n*\bruch{3}{n})²
[/mm]
Jetzt sollst du alle Flächen aufaddieren.
Es gilt:
[mm] A=\underbrace{\bruch{3}{n}*(\bruch{3}{n})²}_{Rechteck1}+\underbrace{\bruch{3}{n}*(\bruch{2*3}{n})²}_{Rechteck2}+...+\underbrace{\bruch{3}{n}*(\bruch{n*3}{n})²}_{n-teRechteck}
[/mm]
Jetzt kannst du noch ein wenig ausklammern:
[mm] A=\bruch{3}{n}*[(\bruch{3}{n})²+(\bruch{2*3}{n})²+...]
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{n}*(\bruch{3}{n})²[1²+2²+3³+...+n²]
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{n}*\bruch{9}{n²}*[1²+2²+3³+...+n²]
[/mm]
und jetzt kannst du die ![[]](/images/popup.gif) Formel für die Quadratzahlen anwenden.
Es gilt ja: [mm] [1²+2²+3²+...+n²]=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm]
Also:
[mm] \bruch{3}{n}*\bruch{9}{n²}*[1²+2²+3³+...+n²]
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{n}*\bruch{9}{n²}*\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{3*9*n(n+1)(2n+1)}{n*n²*6}
[/mm]
[mm] =\bruch{18n³+18n²+9n}{2n³}
[/mm]
[mm] =9+\bruch{9}{n}+\bruch{9}{2n²}
[/mm]
Wenn du jetzt die Anzahl der Rechtecke erhöhst, also n grösser werden lässt, ergibt sich für die Fläche:
[mm] A=\lim_{n\rightarrow\infty}9+\bruch{9}{n}+\bruch{9}{2n²}
[/mm]
[mm] =\underbrace{\lim_{n\rightarrow\infty}9}_{=9}+\underbrace{\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{9}{n}}_{=0}+\underbrace{\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{9}{2n²}}_{=0}
[/mm]
=9
Das wäre dann die gesuchte Fläche.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 10.12.2006 | | Autor: | betaepo2 |
| Aufgabe | [mm] =\bruch{3*9*n(n+1)(2n+1)}{n*n²*6} [/mm]
[mm] =\bruch{18n³+18n²+9n}{2n³} [/mm]
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Danke für die Lösung, wie kommst du auf das Ergebnis?
Danke schön!, hast mir sehr geholfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 11.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> [mm]=\bruch{3*9*n(n+1)(2n+1)}{n*n²*6}[/mm]
[mm] =\bruch{3*9*(n²+n)(2n+1)}{6n³}
[/mm]
[mm] =\bruch{9(2n³+2n²+n²+n)}{2n³}
[/mm]
=Oops, Rechenfehler [mm] \bruch{18n³+27n²+9n}{2n³}
[/mm]
[mm] =\bruch{18n³+27n²+9n}{2n³} [/mm]
>
Am Endergebnis ändert dich aber nichts.
> Danke für die Lösung, wie kommst du auf das Ergebnis?
>
>
>
> Danke schön!, hast mir sehr geholfen!
>
Marius
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