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| Aufgabe | Sei [mm] A := \pmat { \bruch {5}{13} & \bruch {12}{13} \\ \bruch {12} {13} & -\bruch {5}{13} [/mm]
Entscheiden Sie, ob es sich bei der Abbildung [mm] f: \IR^2 \to \IR^2, \vektor {x \\ y} \mapsto A\vektor{x \\ y} [/mm]
um eine Drehung oder eine Spiegelung handelt. Geben Sie den Drehwinkeln an (bzw. die Spiegelungsachse) im Falle einer Drehung (bzw. einer Spiegelung). |
Wir konnten aufgrund des Minuszeichens schon sagen, dass es sich um eine Spiegelung handeln muss. Desweiteren wissen wir aber nicht wie wir auf die Spiegelungsachse kommen. Der Winkel der Spiegelachse ist ja [mm] cos 2\alpha [/mm] aber was nützt uns das um auf die Lösung zu kommen?
Vielen Dank!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo,
mit "aufgrund des Minuszeichens" meint Ihr sicher die Determinante.
Welche Eigenschaft hat die Spiegelachse? Jeder Punkt auf Ihr bleibt fest unter der Spiegelung, dh. sämtliche Vektoren in Richtung der Spiegelachseverändern unter der Spiegelung weder Länge noch Richtung.
Nun denkt in Richtung Eigenwert und Eigenvektor...
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
ich habe noch eine generelle Frage dazu:
Bei folgender Matrix [mm] \pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}} [/mm] handelt es sich ja um eine Spiegelung.
Nun möchte ich die Spiegelachse herausfinden und frage mich, wie ich sie konstruiere.
Mittels der Formel: [mm] cos (2 \alpha) = \bruch {5}{13} [/mm] bekomme ich einen Winkel bei dem ich mir unsicher bin wie ich ihn nutzen soll um die Spiegelachse daraus zu konstruieren.
Deinen Tipp mit den Eigenwerten konnte ich nicht ganz anwenden, weil ich keine Ahnung habe wie ich vorgehen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
du würdest bei einer reinen Spiegelung 2 Eigenwerte bekommen, 1 und -1.
einer der beiden Eigenvektoren würde die Richtung der Spiegelachse angeben (welcher?). Wohin zeigt der andere?
Aber wenn du keine Eigenwerte kennst, mußt du anders vorgehen.
> Bei folgender Matrix [mm]\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}[/mm]
> handelt es sich ja um eine Spiegelung.
> Nun möchte ich die Spiegelachse herausfinden und frage
> mich, wie ich sie konstruiere.
> Mittels der Formel: [mm]cos (2 \alpha) = \bruch {5}{13}[/mm]
> bekomme ich einen Winkel bei dem ich mir unsicher bin wie
> ich ihn nutzen soll um die Spiegelachse daraus zu
> konstruieren.
Aus der Formel bekommst du den Winkel, den die Spiegelachse mit der positiven x-Achse einschließt.
Wenn du daraus eine Geradengleichung konstruieren willst, verwendest du den Tangens dieses Winkels als Steigung m.
Es gibt aber auch eine direkte Formel, wie man aus den 5/13 die Steigung m bekommt. Ich überlasse dir das mal zur Übung.
In der Formel kommt KEINE Trigonometrie vor. Sie ist recht einfach 
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> Bei folgender Matrix [mm]\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}[/mm]
> handelt es sich ja um eine Spiegelung.
> Nun möchte ich die Spiegelachse herausfinden und frage
> mich, wie ich sie konstruiere.
[...]
>
> Deinen Tipp mit den Eigenwerten konnte ich nicht ganz
> anwenden, weil ich keine Ahnung habe wie ich vorgehen
> soll.
Hallo,
der Vollständigkeit halber möchte ich Dir zeigen, wie Du das machen kannst, ohne daß Du den Begriff "Eigenvektor" kennst.
Wenn Dir klar ist, daß die Spiegelung die Vektoren in Richtung der Spiegelachse völlig unverändert läßt, kannst Du ihn gezielt suchen:
Sei v ein Richtungsvektor der Spiegelachse.
Dann ist [mm] \pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}v=v
[/mm]
[mm] <==>\vektor{0 \\ 0}=\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}v-v=\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}v-E_2v= (\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}-E_2)v
[/mm]
==> [mm] v\in [/mm] Kern [mm] (\pmat {\bruch{5}{13} & \bruch{12}{13} \\ \bruch {12}{13} & -\bruch {5}{13}}-E_2),
[/mm]
und diesen Kern könntest Du nun berechnen.
Gruß v. Angela
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