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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 20.07.2005 | | Autor: | sirius |
Hallo,
diese Frage kommt aus dem Drehstromsystem der Elektrotechnik.
Erklären kann man sie aber einfach am Dreieck.
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC (alle Winkel sind kleiner als 120°)dessen Seitenlängen a, b und c bekannt sind.
Gesucht sind die Längen der Strecken [mm] \overline{AE}, \overline{BE} [/mm] und [mm] \overline{CE}. [/mm] Der Punkt E liegt so, dass alle Winkel am Punkt E 120° betragen
(also Winkel zwischen $ [mm] \overline{AE} [/mm] $ und $ [mm] \overline{BE} [/mm] $ sind 120°; Winkel zwischen $ [mm] \overline{AE} [/mm] $ und $ [mm] \overline{CE} [/mm] $ sind 120°; Winkel zwischen $ [mm] \overline{BE} [/mm] $ und $ [mm] \overline{CE} [/mm] $ sind 120°).
Ich hoffe man konnte sich davon ein Bild machen.
Für den Lösungsansatz hab ich der Einfachheit halber kurz definiert:
$ [mm] \overline{AE} [/mm] = x $
$ [mm] \overline{BE} [/mm] = y $
$ [mm] \overline{CE} [/mm] = z $
Mein Lösungsansatz war (entsprechend Kosinussatz)
$ [mm] a^2=y^2+z^2-2*y*z*\cos [/mm] 120° $
weil $ [mm] \cos [/mm] 120° = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] a^2=y^2+z^2+y*z [/mm] $
$ [mm] b^2=x^2+z^2+x*z [/mm] $
$ [mm] c^2=x^2+y^2+x*y [/mm] $
Sind ja eigentlich "nur" 3 Gleichungen mit drei unbekannten (x, y und z) aber ich beiß mir seit einer Woche die Zähne daran aus.
Vielleicht ist der Punkt E ja auch irgend ein spezieller Punkt. Der Umkreismittelpunkt oder der Innenkreismittelpunkt und auch der Schwerepunkt sind es nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sirius,
Zumindest im Fall von gleichschenkligen Dreicken kann ich Dir weiterhelfen. Errichte über dessen Basis ein gleichseitiges Dreick. Wie man sich anhand einer Zeichnung leicht veranschaulicht, ist unser Punkt in beiden Dreiecken an der selben Stelle. Und im gleichseitigen Dreieck, fällt dieser Punkt mit dem Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, etc. zusammen. Die Abstände dürften in diesem Fall dann kein Problem mehr darstellen.
Ich habe übrigens Dein Gleichungssystem von MAPLE lösen lassen. Da der Output in etwas zwei Bildschirmseiten beanspruchte, verschone ich Dich lieber damit. Allerdings bedeutet das wahrscheinlich auch, dass dem System händisch nicht so leicht beizukommen sein wird. Möglicherweise gibt es aber auch einen ganz billigen Trick.
Noch eine Idee: Es könnte sich hier auch um ein Minimierungsproblem handeln. Mein Bauchgefühl sagt mir, dass an diesem Punkt die Summe der Abstände zu den Ecken minimal sein müsste. Vielleicht kann man den Punkt so leichter finden.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Do 21.07.2005 | | Autor: | sirius |
Hi holy Diver,
gut zu wissen, dass Maple auch so einen langen Therm herausbekommt, wie Matlab. In letzterem hab ich es gestern mal probiert. Da muss ich mich nur noch programmiertechnisch durchfitzen, wie man das grafisch darstellen kann. Bei der Verwendung von dem Matlab Befehl ezplot oder ezsurf bekomme ich nur Fehlermeldungen.
Ich bin auch noch der Hoffnung, dass jemand die zündende Idee hat. Quasi, diesen billigen Trick, wie du es nennst. Solange, der nicht kommt, versuche ich dieses Problem zu umgehen, oder besser gesagt, wegzulassen.
Zu den besonderen Dreiecken:
Meine Welt ist leider nicht mehr so simple. Es ist wirklich ein beliebiges Dreieck. Beim gleichseitigen Dreieck ist der Faktor übrigens $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ zwischen a und x.
Die Minimierungsaufgabe dürfte zum Umkreismittelpunkt führen (was leider nicht das Problem löst). Minimal ist doch immer alles, was mit nem Kreis zu tun hat. Ich werd mal weiter drüber nachdenken.
Danke dir!
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Hallo Sirius,
Ich habe mir das mit der Minimierung an ein paar x-beliebigen Dreiecken angeschaut. Das scheint schon so zu stimmen, wie ich es mir vorstelle. Beweis habe ich aber noch keinen. Ich habe den Ansatz dann trotzdem von MAPLE durchrechnen lassen, und das Ergebnis war ernüchternd. Ich bekomme eine Lösung, aber die füllt hunderte Bildschirme.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Do 21.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab mal gesucht, wie man den Punkt konstruiert, und daraus ne andere Rechnung hergeleitet.
Es stzt vorraus, dass du vorab die 3 Winkel im Dreieck berechnest, da das einfach ist, setz ich sie einfach vorraus.
Meine Konstruktion benutzt den Sehnenwinkelsatz: Winkel über einer Sehne sind alle gleich und oberhalb des Mittelpunktswinkels halb so gross wie der, der andere Sehnen winkel ist dann die Ergänzung zu 180° des anderen. Also bei Mittelpunktswinkel 120° ist der Sehnenwinkel am kürzeren Bogen auch 120°.
Meine Skizze dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mittelsenkrechte auf c und b Darauf Mittelpkt M1 und M2 der Kreise so festlegen, dass der Mittelpunktswinkel 120°,Radius [mm] r1=\bruch{\wurzel{3}}{3}*c [/mm] entsprechend r2.
Der Schnittpunkt der 2 Kreise ergibt G(=Evon dir)
mit r1 und r2 kann man die Länge p von [mm] \overline{M1M2} [/mm] berechnen, mit dem Winkel [mm] (\alpha+30+30)
[/mm]
[mm] \overline{M1M2} [/mm] ist Symmetrielinie zw. A und G. damit ist Der Flächeninhalt Ar des Dreiecks AM1M2 [mm] Ar=p*\overline{AG}/4 [/mm] andererseits auch Ar=h*r1 [mm] h=\overline{M1D} [/mm] ist aus dem Winkel [mm] (180-\alpha-60) [/mm] und r2 zu bestimmen.
Ganz einfach ists auch nicht, aber vielleicht findet da noch jemand ne Vereinfachung. und schön find ich den Weg auch.
3. Möglichkeit wäre im KOOs zu rechnen, die 2 Kreise zu schneiden und so die Abstände zu bestimmen.
Ich hoff, das hilft was! Aber der genial einfache Trick ist es nicht.
Dass die Summe der Abstände ein Min. ist ist physikalisch (Kräfte auf Gummis) klar! Aber damit wirds nur komplizierter!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mo 25.07.2005 | | Autor: | sirius |
Schade! Da war doch jemand schneller. Der Punkt (E oder G) heißt Fermatpunkt und wird tatsächlich über den Sehnenwinkelsatz (Sehnenviereck) berechnet.
![[]](/images/popup.gif) Berechnung des Fermatpunktes
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