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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 07.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Es sei V:={f(X) [mm] \in \IR[x] [/mm] | deg(f(X)) [mm] \le [/mm] 2} der [mm] \IR- [/mm] Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit Koeffizienten aus [mm] \IR. [/mm] Weiter Sei durch [mm] \Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] eine Bilinearform gegeben. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich [mm] \Phi [/mm] |
Zunächst habe ich mir die Basis [mm] (v_1,v_2,v_3)=1,x,x^2 [/mm] gewählt. Mit dieser starte ich.
Ich habe nach dem Schmidt-Verfahren bereits zwei Basisvektoren berechnet, und zwar wie folgt:
[mm] v_1'=v_1
[/mm]
[mm] w_1=1/\wurzel{\Phi(1,1)}*v_1'=1/1*1=1.
[/mm]
Überprüfen: [mm] \Phi(w_1,_1)=\Phi(1,1)=1. [/mm] Also stimmt.
[mm] v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2
[/mm]
=-1/2+x
[mm] w_2=\bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}*(-1/2+x)=-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2* \Wurzel{3}}*x
[/mm]
Überprüfe ich das, kommt aber für
[mm] \integral_{0}^{1}{(-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} + \bruch{1}{(2* \Wurzel{3}}*x)^2 dx}=1/144 [/mm] heraus. Was ja nicht 1 ist, wie gewünscht. Wo liegt denn der fehler?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Es sei V:={f(X) [mm]\in \IR[x][/mm] | deg(f(X)) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2} der [mm]\IR-[/mm]
> Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit
> Koeffizienten aus [mm]\IR.[/mm] Weiter Sei durch
> [mm]\Phi(f(X),g(X)):=\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] eine
> Bilinearform gegeben. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis
> von V bezüglich [mm]\Phi[/mm]
>
>
>
>
>
>
> Zunächst habe ich mir die Basis [mm](v_1,v_2,v_3)=1,x,x^2[/mm]
> gewählt. Mit dieser starte ich.
> Ich habe nach dem Schmidt-Verfahren bereits zwei
> Basisvektoren berechnet, und zwar wie folgt:
Hallo,
Du startest also mit [mm] v_1:=1, v_2:=x, v_3:=x^2.
[/mm]
>
> [mm]v_1'=v_1[/mm]
> [mm]w_1=1/\wurzel{\Phi(1,1)}*v_1'=1/1*1=1.[/mm]
>
> Überprüfen: [mm]\Phi(w_1,_1)=\Phi(1,1)=1.[/mm] Also stimmt.
>
> [mm]v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2[/mm]
> =-1/2+x
Ja.
>
> [mm]w_2=\bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}*(-1/2+x)=-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2* \Wurzel{3}}*x[/mm]
Ich glaube, Du hast [mm] \wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)} [/mm] falsch berechnet.
Es ist meiner Rechnung nach [mm] \wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}=\bruch{1}{2\wurzel{3}}, [/mm] und folglich ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\Phi(-1/2+x,-1/2+x)}}=2\wurzel{3}.
[/mm]
Überprüfe das mal!
LG Angela
>
> Überprüfe ich das, kommt aber für
> [mm]\integral_{0}^{1}{(-(\bruch{1}{4* \wurzel{3}} + \bruch{1}{(2* \Wurzel{3}}*x)^2 dx}=1/144[/mm]
> heraus. Was ja nicht 1 ist, wie gewünscht. Wo liegt denn
> der fehler?
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