Berechnung Jacobi-Symbol < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Papewaio |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] \vektor{3 \\ 3^n-2} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {1} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich dachte mir, man könnte diese Aufgabe vielleicht mit vollständiger Induktion bearbeitet und legte los:
IA. n = 2: [mm] \vektor{3 \\ 3^2-2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] = [mm] -\vektor{7 \\ 3} [/mm] da 7 und 3 jeweils 3 mod (4) sind muss wegen dem Reziprozitätsgesetz ein Minis hinzu.
[mm] -\vektor{7 \\ 3} [/mm] kann man reduzieren auf [mm] -\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
folglich [mm] -\vektor{1 \\ 3} [/mm] = -1, was jedoch nicht gleich [mm] (-1)^2 [/mm] ist.
Da ich meine Dozentin eher nicht so einschätze, als dass die Aufgabe "so einfach" zu widerlege ist, vermute ich, dass ich einen Rechenfehler drin habe, ich sehe aber nicht welche. Das Vertrauen in meine mathematischen Fähigkeiten ist noch nicht so überwiegend, um dies einfach so abzugeben.
Ich sehe jedoch keinen Fehler. Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Papewaio |
Ich habe mir nochmal das Reziprozitätsgesetz angeschaut und die "formalere" Schreibweise durchgecheckt.
[mm] \vektor{m \\ n} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] * [mm] (-1)^{\bruch{m-1}{2} * \bruch{n-1}{2}}, [/mm] falls (m,n)=1.
wenn ich das nun mit [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] durchgehe komme ich auch auf (-1).
Ich würde jetzt steif und fest behauptet, dass die zu zeigende Gleichung falsch ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mo 15.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen sie, dass [mm]\vektor{3 \\ 3^n-2}[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN \setminus[/mm] {1}
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ich dachte mir, man könnte diese Aufgabe vielleicht mit
> vollständiger Induktion bearbeitet und legte los:
>
> IA. n = 2: [mm]\vektor{3 \\ 3^2-2}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 7}[/mm] =
> [mm]-\vektor{7 \\ 3}[/mm] da 7 und 3 jeweils 3 mod (4) sind muss
> wegen dem Reziprozitätsgesetz ein Minis hinzu.
> [mm]-\vektor{7 \\ 3}[/mm] kann man reduzieren auf [mm]-\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> folglich [mm]-\vektor{1 \\ 3}[/mm] = -1, was jedoch nicht gleich
> [mm](-1)^2[/mm] ist.
Ja.
> Da ich meine Dozentin eher nicht so einschätze, als dass
> die Aufgabe "so einfach" zu widerlege ist, vermute ich,
> dass ich einen Rechenfehler drin habe, ich sehe aber nicht
> welche. Das Vertrauen in meine mathematischen Fähigkeiten
> ist noch nicht so überwiegend, um dies einfach so
> abzugeben.
Nun, wenn man sich das etwas genauer anschaut, stellt man fest dass die Gleichung fuer $n [mm] \in \{ 2, \dots, 1000 \}$ [/mm] nicht stimmt. (In Maple sieht man das schnell mit seq(numtheory[jacobi](3, 3^n - 2) - (-1)^n, n = 2..1000);)
Das sollte einem allerdings auch einen Hinweis geben darauf, wie die Aufgabenstellung wohl gemeint war: naemlich dass man [mm] $\jacobi{3}{3^n - 2} [/mm] = [mm] -(-1)^n [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}$ [/mm] zeigt fuer $n [mm] \ge [/mm] 1$. (Fuer $n = 1$ gilt das auch.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] \vektor{3 \\ 3^n-2} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN\ [/mm] {1}. |
Hi Felix,
erstmal danke, dass du mir so schnell geantwortet hast und sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Wir haben mittlerweile die korrigierte Aufgabe erhalten.
Ich habe auch angefangen in dem ich n aufspalte in gerade und ungerade zahlen.
1) Sei n gerade, setzte n=2n, also:
[mm] \vektor{3 \\ 3^{2n}-2} [/mm] = [mm] (-1)^{2n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{3 \\ 3^{2n}-2} [/mm] = (-1)
Mit den Rechenregeln des Jacobisymbols folgt.
[mm] \vektor{3^{2n}-2 \\ 3}*(-1)^{\bruch{3-1}{2}*\bruch{3^{2n}-2-1} {2}}=(-1)
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{3^{2n}-2 \\ 3}*(-1)^{\bruch{3^{2n}-3}{2}} [/mm] = (-1)
Da [mm] 3^{2n} \equiv [/mm] 0 mod 3, ist [mm] 3^{2n}-2 \equiv [/mm] 1 mod 3.
Demnach kann ich es mod 3 reduzieren:
[mm] \vektor{1 \\ 3}*(-1)^{\bruch{3^{2n}-3}{2}} [/mm] = (-1)
[mm] \gdw (-1)^{\bruch{3^{2n}-3}{2}} [/mm] =(-1)
Jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm] \bruch{3^{2n}-3}{2} [/mm] ungerade ist.
Hier hakt es ein wenig.
Ich weiß, dass [mm] 3^{2n} [/mm] ungerade ist, da 3er Potenz, somit ist [mm] 3^{2n}-3 [/mm] gerade. Aber ich schaffe es nicht zu zeigen, dass [mm] 3^{2n}-3 [/mm] nicht 0 mod 4, dass also beim Teilen durch 2 auch wirklich eine ungerade Zahl heraus kommt.
Analog habe ich das Problem für ungerade n. Setze n=2n+1, dann folgt:
[mm] \vektor{1 \\ 3}*(-1)^{\bruch{3^{2n+1}-3}{2}}=1
[/mm]
[mm] \gdw (-1)^{\bruch{3^{2n+1}-3}{2}}=1
[/mm]
Auch hier hakt es beim zeigen, dass [mm] 3^{2n+1}-3 \equiv [/mm] 0 mod 4 ist, dass also beim Teilen durch 2 auch wirklich eine gerade Zahl heraus kommt.
Ich habe irgendwie das Gefühl, dass es gar nicht wahnsinnig schwer ist, komme mir aber vor, wie der blinde vorm Berg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
