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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Community!
Fur den zuvor berechneten doppelten Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] ergibt sich das folgende Gleichungssystem
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] bzw.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 }=\vec{0}
[/mm]
Da für mich dieses System lediglich trivial lösbar ist, würde ich gerne wissen, ...
(1) ... ob man hier überhaupt zwei verschiedene Eigenvektoren erhalten kann und
(2) ... wenn ja, wie man sie bestimmen kann.
Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
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Hallo Marcel,
> Hallo Community!
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> Fur den zuvor berechneten doppelten Eigenwert [mm]\lambda_{1}=1[/mm]
> ergibt sich das folgende Gleichungssystem
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> [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }\red{\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]
> bzw.
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 }=\vec{0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wie kommst du von der ersten Gleichung auf diese hier?
Wenn du in der ersten Gleichung bzw. in der Matrix das $(-1)$-fache der ersten Zeile zu den beiden anderen addierst, erhältst du doch
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$ [/mm] als ZSF für die Ausgangsmatrix [mm] $A-1\cdot{}\mathbb{E}_3$
[/mm]
Hier hast du [mm] $x_3,x_2$ [/mm] als frei wählbare Parameter, etwa [mm] $x_3=t, x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit Zeile 1: [mm] $x_1=-s-t$
[/mm]
Ein Lösungsvektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] ist also von der Gestalt [mm] $\vektor{-s-t\\s\\t}=s\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-1\\0\\1}$
[/mm]
Also [mm] $\mathbb{L}=\langle\vektor{-1\\1\\0},\vektor{-1\\0\\1}\rangle$
[/mm]
Also mitnichten eine lediglich triviale Lösung, sondern ein schöner 2-dimensionaler Kern von [mm] $A-1\cdot{}\mathbb{E}_3$
[/mm]
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> Da für mich dieses System lediglich trivial lösbar ist,
> würde ich gerne wissen, ...
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> (1) ... ob man hier überhaupt zwei verschiedene
> Eigenvektoren erhalten kann
Ja!
> und
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> (2) ... wenn ja, wie man sie bestimmen kann.
s.o.
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> Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen.
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> Gruß, Marcel
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LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank!
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