Berechnung Binomischer Satz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 04.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
[mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Vereinfachen Sie die Summe :
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k [/mm] |
Aufgabe 1: Lösung
[mm] (64*a^12+192*a^11+240*a^10+160*a^9+60*a^8+12*a^7+a^6)/64
[/mm]
oder a= -1/2 , a = 0
Zu meiner Frage, welcher der beiden Lösungen ist die richtige oder liege ich bei beiden Lösungen falsch ?
Aufgabe 2: Liegt mir leider noch kein Ansatz bzw. eine Lösung vor, daher bitte ich um Ratschläge und Lösungsansätze.
Danke für Antworten und Lösungsvorschläge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo stud-ing und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
>
> [mm](a^2+a/2)^6[/mm]
> Vereinfachen Sie die Summe :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k[/mm]
> Aufgabe 1: Lösung
>
> [mm](64*a^12+192*a^11+240*a^10+160*a^9+60*a^8+12*a^7+a^6)/64[/mm]
Das ist kaum zu lesen, wie kommst du auf diesen Ausdruck?
Mache mal ein paar Zwischenschritte.
Mit dem binom. Satz ist erstmal [mm]\left(a^2+\frac{a}{2}\right)^6=\sum\limits_{k=0}^6\vektor{6\\
k}\cdot{}\left(a^2\right)^k\cdot{}\left(\frac{a}{2}\right)^{6-k}[/mm]
Das schreibe erstmal aus ...
>
> oder a= -1/2 , a = 0
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Zu meiner Frage, welcher der beiden Lösungen ist die
> richtige oder liege ich bei beiden Lösungen falsch ?
>
> Aufgabe 2: Liegt mir leider noch kein Ansatz bzw. eine
> Lösung vor, daher bitte ich um Ratschläge und
> Lösungsansätze.
Ich schreibe es mal etwas anders:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k\red{\cdot{}1^{n-k}}[/mm]
Nun?
>
> Danke für Antworten und Lösungsvorschläge
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 06.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
[mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Vereinfachen Sie die Summe :
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k [/mm] |
zu Aufgabe 1.)
[mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{6}\vektor{6 \\ k}*(a^2)^k*(a/2)^6^-^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{6} \vektor{6 \\ 0}*(a^2)^0*(a/2)^6^-^0
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{6} 1*a^2^*^0*a^6/2^6
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{6} a*a^6/64
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{6} a^7/64
[/mm]
Ist die Auflösung bzw. Berechnung richtig oder falsch ?
zu Aufgabe 2.)
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k*1^n^-^k
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}1*2^0*1^n^-^0
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}1^n
[/mm]
Das wäre meine Vereinfachung der Aufgabe, ist das so richtig ?
Danke für die schnelle Antwort, weil ich die Aufgaben leider am Montag schon abgeben muss, wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand eine schnelle Rückmeldung zu meinen Fragen geben wirde, ansonsten wirden mir auch die Lösungen sehr weiter helfen damit ich selber den passenden und richtigen Rechenweg finden kann .
|
|
|
| |
|
Hallo stud-ing,
Dir scheinen zwei wesentliche Dinge in dieser Aufgabe nicht klar zu sein:
1) Binomialkoeffizienten;
2) Summenschreibweise.
Deine "Vereinfachungen" jedenfalls sind weitgehend sinnlos. Ich kann nicht nachvollziehen, was Du da eigentlich rechnest.
Um zu sehen, ob ich mit meiner Vermutung (und mehr ist es nicht) richtig liege, gib doch bitte mal die Lösungen zu folgenden sechs einfachen Aufgaben an:
a) Welche Zahl gibt [mm] \vektor{7\\3} [/mm] wieder?
b) Was ist [mm] \summe_{k=1}^4{k} [/mm] ?
c) Was ist [mm] \summe_{k=1}^4{i} [/mm] ?
d) Was ist [mm] \summe_{i=1}^4{k} [/mm] ?
e) Was ist [mm] \summe_{i=1}^4{i} [/mm] ?
f) Was ist [mm] \summe_{j=0}^n{\vektor{n\\j}} [/mm] ? Tipp: berechne [mm] (1+1)^n
[/mm]
Sei so nett, diese Aufgaben kurz zu lösen. Nur so können wir erkennen, wo eigentlich das Problem liegt, und ich vermute: bei den Grundlagen zumindest der Notation.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
a) 35
b) 40
c) 40
d) 40
e) 40
f) [mm] 2^n
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
danke, dass Du Dir die Arbeit gemacht hast.
Mir scheint nun, MontBlanc hat Recht, dass Du das Konzept des Summenzeichens nicht verstanden hast.
Meine erste und die letzte Aufgabe hast Du richtig gelöst, die vier dazwischen (b,c,d,e) sind alle falsch. Mir ist daher nicht klar, wie Du dann Aufgabe f) eigentlich lösen konntest, es sei denn, Du hast nur den Tipp berechnet, aber nicht über die Summe nachgedacht.
Die folgenden 4 Aufgaben hast Du alle mit "40" beantwortet. Ich erkläre mal die ersten beiden davon (b und c), und Du schaust mal, was Dir das dann für d und e sagt.
b) Was ist $ [mm] \summe_{k=1}^4{k} [/mm] $ ?
Die Summe verwendet k als Laufindex. Dieser "läuft" von 1 bis 4. Summiert wird k selbst, so dass folgende 4 Summanden hier gemeint sind:
$ [mm] \summe_{k=1}^4{k}=1+2+3+4=10 [/mm] $
c) Was ist $ [mm] \summe_{k=1}^4{i} [/mm] $ ?
Hier ist der Laufindex wieder k, wieder von 1 bis 4. Summiert wird allerdings ein von k unabhängiger Term, so dass hier folgende Summanden gemeint sind:
$ [mm] \summe_{k=1}^4{i}=i+i+i+i=4i [/mm] $
Da nicht bekannt ist, was i eigentlich ist, ist auch nicht mehr auszurechnen.
Und hier nochmal die beiden übrigen Aufgaben:
d) Was ist $ [mm] \summe_{i=1}^4{k} [/mm] $ ?
e) Was ist $ [mm] \summe_{i=1}^4{i} [/mm] $ ?
Grüße
reverend
PS: an Aufgabe f) machen wir uns besser erst danach noch einmal heran.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 06.11.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
zur ersten Aufgabe: Schreibe [mm] \summe_{k=1}^{6} (a^2 [/mm] + [mm] \frac{a}{2}) [/mm] ausführlich hin. Aus jedem Summanden kannst du [mm] a^6 [/mm] ausklammern, was bleibt übrig?
zur zweiten Aufgabe: Berechne [mm] (2+1)^n [/mm] mit der binomischen Formel.
|
|
|
| |
|
zu zweitens: dürfte man das vielleicht auch so hinschreiben?
= 1 + n*2 + [mm]\vektor{n \\
2}[/mm] * 2² + [mm]\vektor{n \\
3}[/mm] * 2³+....= (1 + x)[mm]^n[/mm]
Mit Dank im Voraus
Melanie
|
|
|
| |
|
Hallo Melanie,
ja, man dürfte. Aber nur, wenn x=2 ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 06.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
$ [mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] $ |
$ [mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{6}\vektor{6 \\ k}\cdot{}(a^2)^k\cdot{}(a/2)^6^-^k [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{6} \vektor{6 \\ 0}\cdot{}(a^2)^0\cdot{}(a/2)^6^-^0 [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{6} 1\cdot{}a^2^\cdot{}^0\cdot{}a^6/2^6 [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{6} a\cdot{}a^6/64 [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{6} a^7/64 [/mm] $
Hab doch genau nach dem Binomischen Satz aufgelöst, versteh jetzt gar nicht wie Sie auf die Auflösung kommen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{6} (a^2 [/mm] $ + $ [mm] \frac{a}{2}) [/mm] $
und wo ist das k= 1 her ?
Verstehe auch leider nicht wie das mit [mm] a^6 [/mm] ausklammern funktioniert, [mm] a^6 [/mm] befindet sich ja nur in 2 Summanden und da weiß ich auch nicht wie ich die dort ausklammern kann.
Danke für schnelle Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo,
nach dem binomischen Lehrsatz gilt doch
[mm] (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}*b^{k}
[/mm]
Das heißt also für n=6 kriegen wir
[mm] (a+b)^{6}=\sum_{k=0}^{6}\vektore{6 \\ k}a^{6-k}*b^{k}
[/mm]
Bestimmen wir nun die einzelnen summanden, for k=0 ist das
[mm] 1*a^{6}*b^{0}=a^{6}
[/mm]
für k=1 ist das
[mm] 6*a^{5}*b^{1}
[/mm]
für k=2 ist das
[mm] \vektor{6 \\ 2}a^{4}b^{2}=15a^{4}b^{2}
[/mm]
usw. usf. dabei ist der binomialkoeffizient [mm] \vektor{n \\ k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
[/mm]
mach das jetzt mal bis k=6 und setz deinen senf da ein, dann solltest du das ergebnis bekommen. Kleiner Zusatz noch die höchste Potenz von a wird [mm] a^{12} [/mm] sein !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
[mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] |
bekomme für
k=0 [mm] a^6
[/mm]
k=1 [mm] 6a^5b^1
[/mm]
k=2 [mm] 12a^4b^2
[/mm]
k=3 [mm] 20a^3b^3
[/mm]
k=4 [mm] 15a^2b^4
[/mm]
k=5 [mm] 6a^1b^5
[/mm]
k=6 [mm] b^6
[/mm]
versteh aber leider noch nicht wie ich auf das Ergebniss jetzt kommen soll
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Studi-ing!
> [mm](a^2+a/2)^6[/mm]
> bekomme für
> k=0 [mm]a^6[/mm]
> k=1 [mm]6a^5b^1[/mm]
> k=2 [mm]12a^4b^2[/mm]
> k=3 [mm]20a^3b^3[/mm]
> k=4 [mm]15a^2b^4[/mm]
> k=5 [mm]6a^1b^5[/mm]
> k=6 [mm]b^6[/mm]
Schreibe hier besser als [mm] $(x+y)^6$ [/mm] die entsprechenden Terme auf, um Verwechslungen zu vermeiden.
Dann setzt Du:
$x \ := \ [mm] a^2$ [/mm] bzw. $y \ := \ [mm] \bruch{a}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | | $ [mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] $ |
Danke für deine Antwort, dass ist mir ja klar aber wie geht es weiter mit der Berechnung wie komme ich auf mein Ergebniss ?
Kann mir jemand bitte einen weiteren Ansatz geben bzw. den nächsten Schritt .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stud-ing!
Nach dem Einsetzen der entsprechenden Terme werden diese summiert ... fertig.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
meine Lösung:
[mm] \bruch{a^6}{64}+\bruch{a^7}{32}+\bruch{a^8}{16}+\bruch{a^9}{8}+\bruch{a^1^0}{4}+\bruch{a^1^1}{2}+a^1^2
[/mm]
Das bekomme ich durch einsetzen der Summanden in [mm] (a^2+\bruch{a}{2})^6 [/mm] raus. Ist das richtig ???
Danke für die Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo,
was hast du denn jetzt mit den ganzen binomialkoeffizienten gemacht ?
Du hast doch wunderbar jeden einzelnen summanden ausgerechnet. also
[mm] (x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}
[/mm]
jetzt setz halt da mal [mm] x=a^2 [/mm] und [mm] y=\frac{a}{2} [/mm] ein...
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
[mm] a^1^2+\bruch{a^1^1}{2}+\bruch{15a^1^0}{4}+\bruch{5a^9}{2}+\bruch{15a^8}{16}+\bruch{3a^7}{16}+\bruch{a^6}{64}
[/mm]
Richtig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit dem binomischen Satz:
$ [mm] (a^2+a/2)^6 [/mm] $ |
mein Ergebniss zu Aufgabe 1 :
$ [mm] a^1^2+\bruch{a^1^1}{2}+\bruch{15a^1^0}{4}+\bruch{5a^9}{2}+\bruch{15a^8}{16}+\bruch{3a^7}{16}+\bruch{a^6}{64} [/mm] $
möchte nur wissen, ob das Ergebniss korrekt ist ?
Danke für Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein ist es nicht... setz doch ein und multiplizier aus.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | | [mm] (a^2+\bruch{a}{2})^6 [/mm] |
bekomme durch einsetzen jetzt zur Lösung: [mm] \bruch{63}{64}*a^8
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich verstehe nicht so richtig, was in dir vorgeht. du scheinst das komplette konzept des summenzeichens nicht verstanden zu haben. Wir hatten doch schon herausgefunden, dass
[mm] (x+y)^{6}=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6
[/mm]
ist.
jetzt setzt du [mm] x=a^2 [/mm] und [mm] y=\frac{a}{2}, [/mm] dann ist
[mm] \left(a^2+\frac{a}{2}\right)^6=(a^2)^6+6(a^2)^5\left(\frac{a}{2}\right)+15(a^2)^4\left(\frac{a}{2}\right)^2+20(a^2)^3\left(\frac{a}{2}\right)^3+15(a^2)^2\left(\frac{a}{2}\right)^4+6(a^2)\left(\frac{a}{2}\right)^5+\left(\frac{a}{2}\right)^6
[/mm]
Das musst du jetzt nur noch vereinfachen. check deine antwort auf wolframalpha.com, gib dort einfach ein [mm] (a^2+a/2)^6
[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
genau das hab ich doch längst gemacht und die Lösung, die ich hier mitteilte stimmt auch mit der von wolfram alpha überein, trozdem vielen Dank für deine Hilfestellungen und schnellen Antworten.
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 07.11.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
sorry, aber wolframalpha sagt mir nix mit [mm] \frac{a^11}{2} [/mm] sondern [mm] 3a^{11}. [/mm] die von dir gepostete lösung war also falsch !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Sa 06.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Vereinfachen Sie die Summe:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k [/mm] $ |
Berechne $ [mm] (2+1)^n [/mm] $ mit der binomischen Formel,
[mm] (2+1)^n [/mm] = [mm] 2^n+4+1^n
[/mm]
aber wo haben Sie [mm] (2+1)^n [/mm] her ? Versteh das leider nicht
Danke für Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo,
wie schachuzipus schon schreib ist
[mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^{k}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^{k}*1^{n-k}
[/mm]
Jetzt schau dir mal den binomischen Lehrsatz an
[mm] (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{k}
[/mm]
Siehst du jetzt warum es sinnvoll ist [mm] (1+2)^{n}=3^{n} [/mm] zu berechnen ???
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 07.11.2010 | | Autor: | stud-ing |
| Aufgabe | Vereinfachen Sie die Summe:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k [/mm] $ |
Könnte ich das so als Berechnung hin schreiben ? Nach der Binomischen Formel ist [mm] (1+2)^n [/mm] = [mm] 3^n+4 [/mm] was passiert mit der 4 ?
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k $=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^k*1^n^-^k=(1+2)^n=3^n
[/mm]
Danke für die Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vereinfachen Sie die Summe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k[/mm]
> Könnte ich das so als
> Berechnung hin schreiben ? Nach der Binomischen Formel ist
> [mm](1+2)^n[/mm] = [mm]3^n+4[/mm]
Nein! Wo kommt denn die 4 her?
Beantworte doch mal meine andere Frage weiter oben.
> was passiert mit der 4 ?
Da gibt es keine 4.
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k[/mm][mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}2^k*1^n^-^k=(1+2)^n=3^n[/mm]
Das ist ok. Aber weißt Du auch, was Du da tust?
> Danke für die Antworten
Grüße
reverend
|
|
|
|
