Berechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Do 12.07.2012 | | Autor: | Aremo22 |
hallo folgende Aufgabe ist gegeben:
Berechnen Sie:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} 1/8^k [/mm]
in der lösung steht dann : 1/(1-1/8) - [mm] (1/8)^0 -(1/8)^1 [/mm] = 1/56
ich versteh den schritt einfach nicht...wieso rechnet man da bis hcoh 0 runter?
wär nett wenn mir jnd helfen könnte
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Hallo Aremo22,
> hallo folgende Aufgabe ist gegeben:
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> Berechnen Sie:
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> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} 1/8^k[/mm]
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> in der lösung steht dann : 1/(1-1/8) - [mm](1/8)^0 -(1/8)^1[/mm] =
> 1/56
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> ich versteh den schritt einfach nicht...wieso rechnet man
> da bis hcoh 0 runter?
Nun, es ist [mm]\sum\limits_{k=\red{0}}^{\infty}\frac{1}{8^k}=\frac{1}{1-\frac{1}{8}}[/mm] (Formel für die geometrische Reihe)
Hier hast du aber im Vergleich zu der gegebenen Reihe, die bei [mm]k=\red{2}[/mm] startet, die 2 Summanden für [mm]k=0[/mm] und [mm]k=1[/mm] hinzugemogelt.
Die musst du folglich wieder vom Reihenwert [mm]\frac{1}{1-\frac{1}{8}}[/mm] wieder abziehen:
[mm]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{8^k} \ = \ \left( \ \sum\limits_{k=\red{0}}^{\infty}\frac{1}{8^k} \ \right) \ - \ \frac{1}{8^0} \ - \ \frac{1}{8^1} \ = \ \ldots[/mm]
Oder mit ein paar Summanden und Pünktchen geschrieben:
[mm]\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+\ldots \ = \ \left(\blue{\frac{1}{8^0}+\frac{1}{8^1}}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+\ldots\right) \ - \ \blue{\frac{1}{8^0} \ - \ \frac{1}{8^1}}\right)[/mm]
Die blauen Summanden sind hinzugemogelt und wieder abgezogen, im Endeffekt haben wir eine "nahrhafte" Null addiert, um die bekannte Formel für den Reihenwert der geometr. Reihe benutzen zu können.
Das ist ein ganz typischer Trick, lohnt sich zu merken!
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> wär nett wenn mir jnd helfen könnte
Gruß
schachuzipus
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