Berechng. der Ableitgs.-Fkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Ermittle die Ableitungs-Fkt. mithilfe der h-Methode.
Dann folgen 6 Funktionen
davon 5 verschiedene Polynome bis max. 3.ten Grades,
die letzte Funktion ist eine exponentielle
[mm] f(x)=3^x
[/mm]
Schreibe jeweils ausführlich alle Lösungsschritte auf. Bestätige deine Ergebnisse mithilfe geeigneter Sekantensteigungsfunktionen.
Bei einer Fkt. geht die h-Methode nicht. Beschreibe die Schwierigkeiten. |
Hallo,
erste Frage bezieht sich auf die 5 Fkt., die alle leicht waren.
Bin ich nach der Aufg.stellg. richtig vorgegangen?
z.B.
[mm] f(x)=x^2+4 [/mm] f´(x)=2x Das vorab nur zur Kontrolle, ob ich gleich mit der h-Methode auch 2x rauskriege.
[mm] \bruch{delta y}{delta x}=\bruch{[(x+h)^2+4]-(x^2+4)}{h}
[/mm]
Mit Anwendg. binom.Formel, Klammern- u. Vorzeichenbeachtg. u. kürzen kommt dann
[mm] =\bruch{2x+h}{h} [/mm] das soll die Sekantensteigungs-Fkt. sein.
Wenn ich jetzt das h gegen Null streben lasse, dann kann man es auch gleich weglassen, dafür schreibe ich dann aber
[mm] \limes_{h \to \ 0 } [/mm] 2x
Das ist jetzt aber keine Fkt., sondern DER Grenzwert.
Damit sind doch alle Erfordernisse in der Aufg.stellg. erfüllt oder habe ich eine falsche Reihenfolge?
2.Frage
mit [mm] f(x)=3^x [/mm] soll ich das gleiche machen
f´(x)=x*3^(x-1)
Ich beginne wieder erst mit der Sekantensteig. delta y /delta x
= [mm] \bruch{3^(x+h) - (3^x)}{h} [/mm] das (x+h) als Exp. soll auch hochgestellt sein
Dann habe ich noch den Nenner h auf beide Summanden verteilt, aber das bringt auch nicht weiter.
Aufg.: "Bei einer Fkt. zieht die h-Methode nicht. Beschreibe die Schwierigkeiten.
Ja, aber ich komme ja gar nicht weit. Inwiefern soll jetzt "Dann habe ich noch den Nenner h auf beide Summanden verteilt, aber das bringt auch nicht weiter" inwiefern soll jetzt die Beschreibg. meiner Schwierigkeiten von Wert sein?
Kann man Exponential-Fkt. nicht ableiten oder bedarf es eines anderen Werkzeuges?
Für Beantwortung u. Hilfe vielen DANK
mfg
Sabine
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Hallo Sabine,
> Ermittle die Ableitungs-Fkt. mithilfe der h-Methode.
> Dann folgen 6 Funktionen
> davon 5 verschiedene Polynome bis max. 3.ten Grades,
> die letzte Funktion ist eine exponentielle
> [mm]f(x)=3^x[/mm]
> Schreibe jeweils ausführlich alle Lösungsschritte auf.
> Bestätige deine Ergebnisse mithilfe geeigneter
> Sekantensteigungsfunktionen.
> Bei einer Fkt. geht die h-Methode nicht. Beschreibe die
> Schwierigkeiten.
>
>
> Hallo,
>
> erste Frage bezieht sich auf die 5 Fkt., die alle leicht
> waren.
> Bin ich nach der Aufg.stellg. richtig vorgegangen?
> z.B.
>
> [mm]f(x)=x^2+4[/mm] f´(x)=2x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das vorab nur zur
> Kontrolle, ob ich gleich mit der h-Methode auch 2x
> rauskriege.
>
> [mm]\bruch{delta y}{delta x}=\bruch{[(x+h)^2+4]-(x^2+4)}{h}[/mm]
>
> Mit Anwendg. binom.Formel, Klammern- u. Vorzeichenbeachtg.
> u. kürzen kommt dann
>
> [mm]=\bruch{2x+h}{h}[/mm]
Da hast du aber im Zähler ein h verloren:
Richtig: [mm]\frac{2hx+h^2}{h}[/mm], dann h ausklammern im Zähler und gegen das h im Nenner kürzen, dann kannst du gefahrlos [mm]h\to 0[/mm] gehen lassen
> das soll die Sekantensteigungs-Fkt.
> sein.
>
> Wenn ich jetzt das h gegen Null streben lasse, dann kann
> man es auch gleich weglassen,
Nee, dann hast du "[mm]\frac{2}{0}[/mm]" - das ist nicht schön
> dafür schreibe ich dann
> aber
>
> [mm]\limes_{h \to \ 0 }[/mm] 2x
Nein, so: [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=...=\lim\limits_{h\to 0}(2x+h)=2x[/mm]
>
> Das ist jetzt aber keine Fkt., sondern DER Grenzwert.
Das ist [mm]=f'(x)[/mm] - die Ableitungsfunktion, die Rechnung gilt für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>
> Damit sind doch alle Erfordernisse in der Aufg.stellg.
> erfüllt oder habe ich eine falsche Reihenfolge?
>
>
> 2.Frage
> mit [mm]f(x)=3^x[/mm] soll ich das gleiche machen
>
> f´(x)=x*3^(x-1) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du kannst [mm]f(x)=3^x=e^{\ln\left(3^x\right)}=e^{\ln(3)\cdot{}x}[/mm] schreiben und bekämest:
[mm]f'(x)=\ln(3)\cdot{}3^x[/mm] heraus ...
>
> Ich beginne wieder erst mit der Sekantensteig. delta y
> /delta x
>
> = [mm]\bruch{3^(x+h) - (3^x)}{h}[/mm] das (x+h) als Exp. soll auch
> hochgestellt sein
>
> Dann habe ich noch den Nenner h auf beide Summanden
> verteilt, aber das bringt auch nicht weiter.
>
> Aufg.: "Bei einer Fkt. zieht die h-Methode nicht.
> Beschreibe die Schwierigkeiten.
> Ja, aber ich komme ja gar nicht weit. Inwiefern soll jetzt
> "Dann habe ich noch den Nenner h auf beide Summanden
> verteilt, aber das bringt auch nicht weiter" inwiefern
> soll jetzt die Beschreibg. meiner Schwierigkeiten von Wert
> sein?
Ja, hier ist die Schwierigkeit, dass du nicht wie bei den anderen Aufgaben [mm]h[/mm] irgendwie mal im Zähler ausklammern kannst und dann gegen das olle h im Nenner kürzen kannst.
Mit dem h im Nenner ist der Grenzübergang [mm]h\to 0[/mm] immer "kritisch"
Man teilt ungerne durch 0 
Das ist die Schwierigkeit hier:
Abhilfe kannst du mit deinem jetzigen Wissen zu Ableitungen wohl kaum schaffen.
Man könnte in [mm]\frac{3^{x+h}-3^x}{h}[/mm] mal die Potenzgesetze anwenden und [mm]3^x[/mm] ausklammern:
[mm]=\frac{3^x\cdot{}3^h-3^x}{h}=\frac{3^x\cdot{}\left(3^h-1\right)}{h}=3^x\cdot{}\frac{3^h-1}{h}[/mm]
Damit (da [mm]3^x[/mm] unabh. von h ist) [mm]\lim\limits_{h\to 0}\left[3^x\cdot{}\frac{3^h-1}{h}\right]=3^x\cdot{}\lim\limits_{h\to 0}\frac{3^h-1}{h}[/mm]
Damit "reduziert" sich das Problem auf die Grenzwertbetrachtung des letzten Bruchs.
Das dürfte aber schwierig sein, wenn du noch nicht soviel von Ableitungen hattest.
Vllt. schaust du mal dort:
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation
etwa in der Mitte der Seite unter "Motivation" nach - da ist das ganz nett erklärt ...
>
> Kann man Exponential-Fkt. nicht ableiten
doch!
> oder bedarf es
> eines anderen Werkzeuges?
Ja!
>
> Für Beantwortung u. Hilfe vielen DANK
> mfg
> Sabine
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 29.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo schachuzipus,
vielen DANK f. deine Antw.!
Ich habe mir das mal angeschaut bei Wiki. Ist ja dem ziemlich ähnlich, was auch du hier geschrieben hattest, mit dem e (Euler) u. IN (das habe ich vergessen, was das ist). Werde das aber nicht weiter verfolgen, weil wie du sagst, meine Vorkenntnisse dafür noch nicht ausreichen. Ich glaube wichtiger scheint mir, dass ich schon an viel früherer Stelle den Differenzen-Quotienten mit lim ersetzen muss
> > [mm]f(x)=x^2+4[/mm] f´(x)=2x vorab zur Kon-
> > trolle, ob ich mit der h-Methode auch 2x rauskriege.
> >
> > [mm]\bruch{delta y}{delta x}=\bruch{[(x+h)^2+4]-(x^2+4)}{h}[/mm]
> > Mit Anwendg. binom.Formel, Klammern- u. Vorzeichenbeachtg.
> > u. kürzen kommt dann
> >
> > [mm]\frac{2hx+h^2}{h}[/mm]
>
> jetzt h ausklammern und gegen das h im Nenner kürzen, dann
> kannst du gefahrlos [mm]h\to 0[/mm] gehen lassen.
Ich kürze immer gleich (aus einer Summe), ohne vorher auszuklammern. Aber mir ist klar, dass man bei der Multiiplikation im Zähler es nur einmal wegstreichen darf. Darf ich so kürzen? Ich kenne zwar den Spruch, dass aus Summen nicht gekürzt werden darf. Aber warum - keine Ahnung. Kann ich so weitermachen, ich mache es ja richtig oder sollte ich mir das besser abgewöhnen?
> > Wenn ich jetzt das h gegen Null streben lasse, dann kann
> > man es auch gleich weglassen,
>
> Nee, dann hast du "[mm]\frac{2}{0}[/mm]" - das ist nicht schön
>
> > dafür schreibe ich dann aber [mm]\limes_{h \to \ 0 }[/mm] 2x
>
> Nein, so: [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=...=\lim\limits_{h\to 0}(2x+h)=2x[/mm]
Danach muss ich jetzt alle anderen 5 Fkt., (die normalen Polynome), die auch abgeleitet u. wo der GW bestimmt werden sollte nochmal neu machen.
Alle durchgeschaut u. gesehen, dass sich beim Differenzen-Quotienten das h im Nenner immer wunderbar rauskürzt u. zwar unmittelbar bevor der limes kommt. Das ist bei allen 5 Fkt. so.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann muss ich doch nichts ändern. Du meinst, kritisch ist es nur zu denken, wenn der Nenner Null ist; "bevor ich das denke" besser oder unbedingt dy/dx ersetzten mit lim
Ja, so?
> Das ist [mm]=f'(x)[/mm] - die Ableitungsfunktion, die Rechnung gilt für alle [mm]x\in\IR[/mm]
Welche Rechnung? die vorher, über die wir gesprochen haben oder alle Rechnung, die mit f´(x) angestellt werden kann?
Oh man, ich weiß nicht, warum das ([mm]x\in\IR[/mm]) so schwer ist.
Ich vermute, dass hätte bereits in der Aufg.stellg. gleich genannt werden können. Warst du derjenige, der mir hier im Matheraum gesagt hat, dass man es immer dazu schreiben muss, es sei denn, wenn es nicht aus dem Zusammenhang ohnehin schon klar ist. Nun stand es in der Aufg. nicht u. du hast es hier reingebracht.
Woher soll mir das klar sein?
Mal nachgedacht: Wenn für die x gelte, dass sie aus der Zahlenmenge eine Stufe zuvor seien hätte man dann Lücken im Graphen?
Für nochmalige Antwort im voraus schon mal vielen DANK!
Gruß
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Do 29.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
> Ich habe mir das mal angeschaut bei Wiki. Ist ja dem
> ziemlich ähnlich, was auch du hier geschrieben hattest,
> mit dem e (Euler) u. IN (das habe ich vergessen, was das ist).
[mm] $\ln(...)$ [/mm] ist der sogenannte "natürliche Logarithmus"; d.h. der Logarithmus zur Basis $e_$ .
> > jetzt h ausklammern und gegen das h im Nenner kürzen, dann
> > kannst du gefahrlos [mm]h\to 0[/mm] gehen lassen.
> Ich kürze immer gleich (aus einer Summe), ohne vorher
> auszuklammern. Aber mir ist klar, dass man bei der
> Multiiplikation im Zähler es nur einmal wegstreichen darf.
> Darf ich so kürzen? Ich kenne zwar den Spruch, dass aus
> Summen nicht gekürzt werden darf. Aber warum - keine Ahnung.
Weil es einfach falsch ist, es zu tun.
> Kann ich so weitermachen, ich mache es ja richtig
> oder sollte ich mir das besser abgewöhnen?
Es sieht bei Dir richtig aus. Aber mit dem Zwischenschritt des Ausklammerns liegst Du auf der sicheren Seite und es ist weniger fehleranfällig.
> Alle durchgeschaut u. gesehen, dass sich beim
> Differenzen-Quotienten das h im Nenner immer wunderbar
> rauskürzt u. zwar unmittelbar bevor der limes kommt. Das
> ist bei allen 5 Fkt. so.
Das sollte auch so sein.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Rechnung als Scan sind hier nicht so gern gesehen. Bitte direkt eintippen.
Grundsätzlich siehen die Rechnungen gut aus. Jedoch musst Du auch konsequent in der schriftlichen Darstellung das [mm] $\lim_{h\rightarrow 0}$ [/mm] "mitschleppen".
Jedenfalls ist es dort, wo Du es geschrieben hast, falsch bzw. zu spät.
> > Das ist [mm]=f'(x)[/mm] - die Ableitungsfunktion, die Rechnung gilt
> für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> Welche Rechnung?
Die Definition der Ableitung mittels Differenzenquotienten:
$f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 29.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar,
Du schreibst:
>Jedenfalls ist der limes dort, wo Du ihn geschrieben hast, falsch bzw.
>zu spät.
Och Mann, ich gebe mir soviel Mühe, das ist frustrierend. Vor allem auch deshalb, weil ich eine Begründung dafür habe, warum das lim so weit unten erst kommt. Aber die sag ich jetzt nicht.
Wo vorher muss es denn hin?
An welcher Stelle genau?
Gruß
Sabine
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Hallo Sabine,
entweder musst du es überall mitschleppen, also
[mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{f_3(x+h)-f_3(x)}{h}=...=\lim\limits_{h\to 0}(6x+3h)[/mm]
Und Achtung, das ist jetzt [mm]\red{=}6x[/mm] und das ist [mm]=f'(x)[/mm]
Oder du schnappst dir nur den Bruch, so wie du angesetzt hast:
[mm]\frac{f_3(x+h)-f_3(x)}{h}=...=6x+3h[/mm]
Und sagst dann in einer neuen Zeile:
[mm]\lim\limits_{h\to 0}(6x+3h)=6x=f'(x)[/mm]
Du hast etwas Kuddelmuddel reingebracht, aber eigentlich erst im letzten Schritt.
Du musst den Grenzwert des letzten Ausdrucks betrachten, also
bei [mm]f_3[/mm]: [mm]\lim\limits_{h\to 0}(6x+3h)[/mm] und bei [mm]f_4[/mm]: [mm]\lim\limits_{h\to 0}(2x+h-2)[/mm]
Du hast bei beiden das "h" weggelassen, warum auch immer ...
Das wird ja erst beim Grenzübergang zu 0 und kann dann weggelassen werden.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
> Hallo schachuzipus,
> Du hast etwas Kuddelmuddel reingebracht, aber eigentlich
> erst im letzten Schritt.
Ich war bis eben davon überzeugt, dass die Aufg. verlange, man soll die Steigung 6 verschiedener Funktionen bestimmen u. dabei so vorgehen:
Nähere dich dem Ziel über die Sekante (Sekantensteigungs-Fkt.). Das ist für mich dy/dx, also der DifferenZEN-Quot. (mittlere Ändergs.rate)
Den schön artig umgeformt ergibt das einen vereinfachten u. übersichtl. Term, wo noch ein h oder h´s drin sind.
Muss ja auch so sein, weil wir hier eine Sekante (Steigungsdreieck) haben.
Jetzt haben wir es bis zu diesen vereinfachten Term geschafft u. wollen nun aber die Tangente, d.h. man lässt das h winzigklein werden (grob gesprochen, dann fällts weg u. wenn das der Fall ist, dann
folgt in neuer Zeile erstmalig lim u. darunter h --> 0
Aber vorher war es die Sekante, Steigungsdreieck u. deshalb dy/dx.
Nun lese ich die Aufg. nochmal u. finde kein Wort davon O-)
Was soll ich die Aufg. jetzt abschreiben? Du hast die Frage, an welcher Stelle ich denn mit dem lim anfangen soll ja beantwortet, wäre es abhängig von ......, dann hättest du nachgefragt.
> Du musst den Grenzwert des letzten Ausdrucks betrachten,
> also
>
> bei [mm]f_3[/mm]: [mm]\lim\limits_{h\to 0}(6x+3h)[/mm] und bei [mm]f_4[/mm]:
> [mm]\lim\limits_{h\to 0}(2x+h-2)[/mm]
>
> Du hast bei beiden das "h" weggelassen, warum auch immer.
Wenn ich lim das erste mal davor schrieb, dann habe ich in dem Term zuvor in Gedanken h ganz klein werden lassen. Das macht doch der lim, wenn drunter steht h gegen Null.
Na, u. wenn nun lim h-->0 davor stand so hab ich mir gedacht, dass das h oder die h´s dann nicht mehr auftauchen müssen.
Ok, im Buch steht auch, so wie du es sagst:
f´(x) = $ [mm] \limes_{h \to \ 0 } [/mm] $ -2x-h = -2x
(ich glaube du hast -2x-h nur noch in Klammern gesetzt)
> Das wird ja erst beim Grenzübergang zu 0 und kann dann
> weggelassen werden.
Also gut,
ich mache alle 6, bzw. 5 Fkt. nochmal.
Richtig u. noch ordentlicher (h vor dem Kürzen ausklam).
Harte Schule.
Diese ganze Schreiberei.
Aber jetzt ist erstmal Wochenende!
Herzlichen DANK für deine unterstützenden u. helfenden Antworten!!!
Dir auch ein schönes Wochenende!
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
> > > Das ist [mm]=f'(x)[/mm] - die Ableitungsfunktion, die Rechnung gilt
> > > für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> > Welche Rechnung?
> Die Definition der Ableitung mittels Differenzenquotienten:
>
> [mm]f'(x) \ := \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
Hi Loddar,
jetzt habe ich deine Antw. nochmal gelesen u. dabei fällt mir auf, dass für mich der DifferenZEN-Quot., dy/dx ist
Aber [mm]f'(x) \ := \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
ist das nicht der DifferenTIAL-Quot.?
Ich bin jetzt ganz durcheinander u. genervt, dass ich mich immer so schnell u. leicht verunsichern lasse. Ich hoffe sehr du hast dich nur verschrieben oder anders vertan.
Gruß
Sabine
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Hallo nochmal,
> > > > Das ist [mm]=f'(x)[/mm] - die Ableitungsfunktion, die Rechnung gilt
> > > > für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>
> > > Welche Rechnung?
>
> > Die Definition der Ableitung mittels
> Differenzenquotienten:
> >
> > [mm]f'(x) \ := \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Hi Loddar,
>
> jetzt habe ich deine Antw. nochmal gelesen u. dabei fällt
> mir auf, dass für mich der DifferenZEN-Quot., dy/dx ist
>
> Aber [mm]f'(x) \ := \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> ist das nicht der DifferenTIAL-Quot.?
Der Differenzenquotient ist [mm]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm] (mittlere Änderungsrate, Sekantensteigung)
Erst im Grenzübergang [mm]\Delta x\to 0[/mm] wird es zur Tangentensteigung:
[mm]\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm] (momentane Änderungsrate, Tangentensteigung) - das ist der Differentialquotient.
Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn Ableitung von [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm], kurz: [mm]f'(x_0)[/mm]
Also salopp geschrieben: "Differentialquotient = Limes des Differenzenquotienten"
>
> Ich bin jetzt ganz durcheinander u. genervt, dass ich mich
> immer so schnell u. leicht verunsichern lasse. Ich hoffe
> sehr du hast dich nur verschrieben oder anders vertan.
>
> Gruß
> Sabine
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi
> Der Differenzenquotient ist [mm]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
> (mittlere Änderungsrate, Sekantensteigung)
>
> Erst im Grenzübergang [mm]\Delta x\to 0[/mm] wird es zur
> Tangentensteigung:
>
> [mm]\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/mm]
> (momentane Änderungsrate, Tangentensteigung) - das ist der
> Differentialquotient.
>
> Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn Ableitung von
> [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm], kurz: [mm]f'(x_0)[/mm]
>
> Also salopp geschrieben: "Differentialquotient = Limes des
> Differenzenquotienten"
Große Erleichterung. Soviele neue Begriffe u. so ein komplexes Thema. Dabei ist das erst der Anfang.
Hätte mich aber auch nicht gewundert, wenn Loddar sich nicht vertan hätte. Dann hätte ich bei mir was korrigieren müssen. Muss ich ja sowieso ständig. Arbeite ich etwas zu einem Thema aus, kann ich es nach ein paar Monaten ergänzen oder daran irgendwas korrigieren. Früher dachte ich immer noch: "Jetzt ist es aber richtig, ende u. fertig", aber nein, es hört nie auf. Habe ich es 2,3 oder 4x überarbeitet kann ich schon wieder was weglassen, was ich nun im Kopf habe u. was sitzt.
Aber gut, so wie du es alles schreibst, so hat es sich auch in meinem Gehirn niedergelassen.
DANKE dir vielmals!!!!!
LG
Sabine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 05.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
ich wollte jetzt endlich alle Aufg. nochmal neu überarbeiten, bzw. früher anfangen lim zu schreiben u. es konsequent mitzuschleppen. Im Text der Aufg. stand in der Tat nix davon, dass man die Ableitgs.-Fkt. erst über die Sekantensteigs.-Fkt. best. soll. Aber nun sehe ich im Bildchen rechts daneben, dass da von Sekantensteigs.-Fkt. die Rede ist.
Sie ist doch delta y durch delta x.
Seite 163, Nr. 12
files.schulbuchzentrum-online.de/pdf/978-3-507-85480-2-3-l.pdf
falls dieser Link nicht gehen sollte
Buchausschnitt
ich hoffe eines von beiden klappt
Seite 163, Nr. 12
Ihr ward euch beide einig, dass ich früher anfangen muss limes zu schreiben, bzw. dass ich es ab dann immer mitschleppen muss.
Aber wieso machen die im Buch es auch so wie ich?
Bzw. ich habe die Aufg. nach dem Muster im Buch gemacht.
Ihr seid ja alles andere als doof u. ich kriege sicher auch keine falschen Antworten!!! Sind die im Buch "doof"?
Aber wo bitte ist hier das Problem? Ich hoffe es ist aufzuklären.
Denn noch weiß ich nicht, wie ich es machen soll,
wie die im Buch oder msek (x) von vorhherein gleich weglassen u. stattdessen lim schreiben.
Ich hoffe es ist nicht verzwickt u. ich konnte mich auch verständlich ausdrücken.
Fröhliche Ostern
Sabine
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Hallo, eigentlich hat schachuzipus ja schon die Antwort gegeben, ich zitiere:
" Oder du schnappst dir nur den Bruch, so wie du angesetzt hast:
[mm] \frac{f_3(x+h)-f_3(x)}{h}=...=6x+3h
[/mm]
Und sagst dann in einer neuen Zeile:
[mm] \lim\limits_{h\to 0}(6x+3h)=6x=f'(x) [/mm] "
mathematisch sind beide Möglichkeiten ok:
(1) Berechnung der Sekantensteigungsfunktion msek(x)=....., DANN Grenzwertbetrachtung h gegen Null machen
(2) gleich mit [mm] \limes_{h\rightarrow0}....... [/mm] im 1. Schritt beginnen
ich kann dich trösten, später benötigst du diese Methode nicht mehr, du benutzt die Ableitungsregeln,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 05.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi Steffi,
ich habe das, was schachzupusi gesagt hast ganz genau.
(im PC, wortwörtl. handschriftl. auf meinem Schreibtisch UND im Kopf!),
ich wollte wissen, wer denn nun recht hat.
Die beiden hier aus dem Matheraum oder die Autoren des Schulbuches.
Wenn beide Seiten sich nicht einig sind, dann kann ja nur der andere Falsch sein.
Da du nix vom Buch sagst, ist es mir zu gewagt, anzunehmen, dass alle Schulbuchautoren da was Falsches gemacht haben.
Ich hätte es gern aufgeklärt.
Dir frohe Ostern
Sabine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 05.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
ps
ich kann dich trösten, später benötigst du diese Methode nicht mehr, du benutzt die Ableitungsregeln,
Wenn mir das allerdings sagen soll, dass es unnötig ist diese Frage zu klären, dann wäre mir das auch nur recht u. bequem
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 05.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst entweder von anfang an schreiben
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=lim...=lim.. [/mm] = ergebnis
oder du schreibst
[mm] msek=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=...=...
[/mm]
und am Ende dann [mm] \limes_{h\rightarrow 0}msek=lim...= [/mm] ergebnis
statt msek hinzuschreiben kannst du auch einfach nur
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] und umformen. dann am Ende [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}...=
[/mm]
Also die Berater und dein Buch sind sich da einig, keiner hat unrecht.
nur wenn du mit lim anfängst kannst du nicht einfach nur den Bruch umformen und nicht lim immer wieder davorschreiben.
Ich schlagvor du rechnest msek aus und nimmst am Ende den lim, das spart schreibarbeit und macht dir klar, solange da noch ein h ist ist es noch die Sekantensteigung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi leduart,
ENDLICH richtig KLARHEIT.
(was das betr.)
Die 3.te Variante scheidet für mich aus. Ich bin erst ganz am Anfang u. wenn ich es 2 Jahre gemacht habe, dann entsteht die dritte Version wohl von allein mit der Gewissheit, dass es sicher so auch geht. Aber jetzt bin ich am Anfang u. beim neu Aneignen ist es sicher gut, sich viel Schreibarbeit anzutun.
Aber eine neue Frage ist leider entstanden. Ich wünschte ich könnte sie mir selbst beantworten. Aber ich bin so unsicher.
Du hast immer von msek geschrieben, nicht aber von msek(x)
Als erstes habe ich mich gefragt, ob du das wohl vergessen hast. Dann habe ich mich gefragt, welche Bedeutg. es denn hat, wenn
msek oder
msek(x)
msek ist eine Zahl, nämlich die Steig. einer Sekante in einem konkreten Intervall
msek(x) ist die allg. Form, mit der ich die Steig. eines beliebigen Intervalls bestimmen kann?
Ist msek = dy/dx?
Dann muss es natürlich ohne das (x) sein
Gar nicht so einfach, bis ich durch allem durchgestiegen bin.
Aber ich stiefel weiter.
LG
Sabine
P.S.: Ich bin sehr, denn ich dachte alle machen Osterurlaub. Ich habe jetzt sicher eine ganze Woche kein Mathe mehr gemacht; war gefrustet u. hatte keinen Schwung. Wie groß ist nun die Freude, das jetzt wieder richtig Motivation da ist. Und noch größer die Freude, dass ich hier im Matheraum nicht 2 oder sogar 4 Tage auf eine Antw. warten muss. DANKE ihr fleißigen Osterhasen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Sa 07.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
msek schreibt dein Buch für m=Steigung einer Geraden und sek für Sekante.
Man kann allgemein (wie ich) von Sekantensteigung reden und msek schreiben, oder die Formel msek(x) hinschreiben, ist eigentlich immer dasselbe gemeint. (zusätzlich denkt man dann ja auch noch an msek einer bestimmten Funktion.)
msek ist keine offizielle mathematische Bezeichnung, also nur eine Abkürzung deines Buchs.
dagegen ist msek = dy/dx falsch, dy/dx ist eine andere Schreibweise für y' bzw mit y=f(x) für f'
[mm] msek=\Delta y/\Delta [/mm] x
wobei Delta eine Abkürzung für Differenz ist also
[mm] \Delta y/\Delta x=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
> msek schreibt dein Buch für m=Steigung einer Geraden und
> sek für Sekante.
ja, das hatte ich mir auch so überlegt.
> Man kann allgemein (wie ich) von Sekantensteigung reden
> und msek schreiben,
das Ergebnis ist dann nur eine Zahl (die Steig.)
Bsp.
Die Sekante soll sein y= 2x
dann msek=2
Die Formel aber msek(x)=2x
> oder die Formel msek(x) hinschreiben,
> ist eigentlich immer dasselbe gemeint.
Was meinst du mit immer dasselbe?
Ob nur die Steig. oder eine lin. Fkt. ist nicht dasselbe.
Aber vielleictht stehe ich ja auch auf der Leitg.
> zusätzlich denkt man dann ja auch noch an msek einer
> bestimmten Funktion.
Mir fällt zu msek(x) nur Fkt. ein - gibt es noch etwas Anderes?
LG
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 08.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
doe Steigung der Sekante msek(x)=2x+h ist nicht 2 sondern 2x
nur bie x=1 ist sie 2!
msek(x) gibt wirklich die Steigung der Sekante um den Punkt x an, wenn du die parabel [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^2+2 [/mm] zeichnest, dir einen festen punkt z.B x=2 aussuchst ein Stückchen h nach rechts davon gehst und die Sekante zeichnest siehst du dass die Steigung 4+h ist, wenn du bei x=1/2 die sekante zeichneastt hat sie die Steigung 1+h usw.
das schreibr man dann allgemein für einen beliebigen punkt x: die Sekantensteigung ist 2*x+h und man definiert die Steigung der Kurve selbst als den GW für h gegen 0.
was du verwechselst im fall der Parabel hatt ist die Ableitungsfunktion f'(x)=2x eine Gerade mit der Steigung 2, das hat aber nur indirekt mit der Steigung der parabel zu tun. wenn du [mm] f(x)=x^3 [/mm] hast ist die ableitungsfkt keine Gerade mehr. sondern [mm] f')x)=3x^2 [/mm] und die 3 ist keine Steigung!
Zusammengefasst, sowohl msk(x) kurz msk gibt die Steigung von Sekanten an der Stelle x an, die Steigung dieser Funktion ist nicht die, die dich hier interessiert.
Gruss leduart und frohe Ostern mit vielen OOOO
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
Du
> die Steig. der Sekante msek(x)=2x+h ist nicht 2, sondern 2x
Ich bleibe dabei, dass die Steig. von einer Sekante immer nur eine Zahl ist, solange es sich bei der Sekante um eine lin. Fkt. handelt. Die Ableitg. oder die Fkt. [mm] 3x^2 [/mm] - klar, die 3 ist nicht die Steig., (sondern Steckg. oder Stauchg.)
Ich habe alles gezeichnet, wie du gesagt hast:
in grün die Ableitg. von [mm] x^2+2, [/mm] also 2x
Die grüne Ableitg.-Fkt. hat die Steig. 2
> wenn du etwas h nach re gehst u. die Sekante zeichnest,
> dann siehst du, dass die Steigung 4+h ist
Das habe ich in rot gezeichnet u. ja, tatsächl. auch gesehen, dass die Steig. 4+h ist.
Aber das war vorauszusehen, dass ich so zwei lin. Fkt. mit verschiedener Steig. kriege. Die rote u. die grüne.
Vielleicht gehe ich ja in die richtige Richtg., wenn ich trotzdem versuche den Unterschied zu erfassen:
Allg.: Eine lin.Fkt. ist eine lin.Fkt. u. hat erstmal so nix mit Ableitg. u. Steig. u. so tun (entschuldige bitte Ausdruck u. Formulierg. - ich kanns nicht besser). Aber msek (x) ist die Ableitgs.-Fkt. u. "zufällig" eine lin. Fkt., d.h. weil die aufgeleitete eine hoch 3 ist.
msek(x) hat was mit GW zu tun, eine normale lin. Fkt. hat nix mit GW zu tun.
So ungefähr?
Dein Abschlusssatz lautete: >die Sekantensteig ist 2x+h u. man def. die Steig. der Kurve selbst als den GW für h gegen 0.
LG
Sabine
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> Ich bleibe dabei, dass die Steig. von einer Sekante immer
> nur eine Zahl ist, solange es sich bei der Sekante um eine
> lin. Fkt. handelt.
Hallo,
eine Sekante ist immer eine lineare Funktion,
und die Steigung einer Sekanten ist immer eine Zahl.
Insofern kannst Du schonmal beruhigt sein.
Ich greife das in Deinem Post angesprochene Beispiel, [mm] f(x)=$x^2+2$, [/mm] auf:
wir interessieren uns für die Sekantensteigungen, bei denen der zweite x-Wert immer um h rechts vom ersten liegt.
Die Steigung der Sekante, die durch die Punkte [mm] x_1=a [/mm] und [mm] x_2=a+h [/mm] geht,
ist [mm] m_a=\bruch{((a+h)^2+2) - (a^2+2)}{(a+h)-a}=\bruch{2ah+h^2}{h}=2a+h.
[/mm]
Mal konkret: wir nehmen jetzt fest [mm] h=\bruch{1}{2} [/mm] und bekommen:
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline a & f(a)&a+h & f(a+h)&m_a\\
\hline \hline 1 &3& 1.5 & 4.25&2.5\\
2 & 6 & 2.5 & 8.25 & 4.5\\
3& 11 & 3.5 & 14.25 & 6.5\\
4 & 18 & 4.5 & 22.25& 8.5\\
\hline \end{tabular}[/mm]
Also haben wir an der Stelle a die Steigung [mm] m_a=2a+0.5.
[/mm]
[mm] m_a [/mm] können wir auch umtaufen in m(a) und bekommen m(a)=2a+0.5, oder wenn's uns mit x besser gefällt: m(x)=2x+a.
m(x)=2x+0.5 sagt uns: wenn wir den Graphen der Funktion f betrachten, eine beliebige Stelle x nehmen und wissen wollen, welches die Steigung der Sekante ist, die durch den entsprechenden Punkt des Graphen und den, dessen x-Wert 0.5 weiter rechte liegt, geht, so können wir ablesen: die Steigung der Sekante ist 2x+0.5
Du hast das mit etwas anderem verwechselt:
die Funktion m(x)=2x+0.5 ist eine lineare Funktion, sie hat an jeder Stelle die Steigung 2.
Wir wollten aber Auskunft die Sekantensteigung von f - s.o.
Ich glaube, an einem etwas komplizierteren Beispiel wird das deutlicher:
nehmen wir [mm] g(x)=x^3-4.
[/mm]
Wie oben wollen wir die Sekantensteigung durch den jeweils in x-Richtung um h entfernten Punkt wissen.
Wir bekommen:
[mm] m(x)=\bruch{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-4-x^3+4}{x+h-x}=3x^2+3xh+h^2
[/mm]
Wir können nun direkt ablesen, daß die Steigung der Sekante durch die Punkte [mm] P_1(2|4) [/mm] und [mm] P_2(2.5|11.625) [/mm] ist: [mm] m(2)=3*8+3*2*0.5+0.5^2=27.25 [/mm] .
Wenn wir nun das h immer kleiner machen, also den Grenzwert für [mm] h\to [/mm] 0 von m(x) berechnen, dann bekommen wir die Ableitung von f an der Stelle x.
Ich hoffe, daß ich damit in etwa das getroffen habe, was Du wissen wolltest, bzw. nicht verstanden hattest.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 19.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
ich glaube ich habs jetzt.
Es gab 2 Ausgangsfragen
- Was ist der Unterschied zwisch. msek und msek(x)? und
- msek= [mm] \frac{\Delta y}{\Delta x}, [/mm] dann ist das Ergebnis eine Zahl (die Steig.), aber leduart hat gesagt: nein, es ist 2x
und das habe ich nicht kapiert, trotz Erkärungen.
Leduart hatte vorher irgendwo gesagt, dass msek=msek(x).
Das ist jetzt mit
[mm] m_a=m(a) [/mm] oder auch [mm] m_x=m(x)
[/mm]
klar.
Aber, ist doch ärgerlich, dass man 2 versch. Bezeichnungen für eine Sache hat, wobei ich mit m(x) eine Fkt. assoziere und [mm] m_a [/mm] nur eine Zahl meint.
Gibt es denn da keine Konventionen, dass man für Sekantensteigungen nur [mm] m_a [/mm] benutzen sollte? Das kostet so viel Zeit, stiftet Verwirrung u. das sicher nicht nur bei mir.
Stelle mir grad vor, man hat im Str.verkehr für ein Verbot 3 versch. Symbole. ->CHAOS
Mein zweites Problem
msek ist ausgerechnet eine neue Fkt., die leduart bezeichnet mit: "es ist eher eine Formel"
Genau u. das ist es. Es sind nämlich mehrere verschiedene Steigungen.
Nämlich für jede Sekante eine andere.
Vergessen wir lin.Fkt., wo die Steig. immer gleich ist. Nehmen wir eine nächst höhere Fkt., wo die Steig. in JEDEM Pkt. anders ist.
Dann ist msek oder msek(x) oder [mm] m_x, [/mm] solange noch ein h da ist....
ich kann genau diesen Term (Formel) ja auf beliebige Intervalle anwenden.
Entscheidend war jetzt in deiner Antwort, der Plural
Sekantensteigungen.
Sorry, meine Sätze sind nicht gut strukturiert.
Aber jetzt habe ich´s oder?
Und vielleicht muss ich ja auch die Beschwerde zurücknehmen, dass es keine einheitl. Bezeichnung gibt. Denn die Sekantensteigungen sind von höheren Fkt. natürlich
msek(x)
selbt auch wieder Fkt.
u. nicht nur eine Zahl (f. einen Steigungswert)
Mein Gott, dass war aber eine schwere Geburt.
Angela, ich Danke dir für deine Mühe.
Natürlich danke ich auch allen anderen, die bei dieser Geburt mitgewirkt haben!
LG
Sabine
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> Sorry, meine Sätze sind nicht gut strukturiert.
Hallo,
genau das ist ein Problem, welches ich nahezu grundsätzlich mit Deinen Posts habe. Ich kann oft nicht unterscheiden, welches Selbstgespräche sind und welches die Fragen an die Allgemeinheit. (Dies ist eine Information - kein Vorwurf.)
Ich schätze aber sehr, daß Du Dich mit den Dingen eingehend beschäftigst, sie drehst, wendest, hinterfragst und Dir Deine eigenen Gedanken machst.
So lernt man Mathematik.
> Aber jetzt habe ich´s oder?
Falls ich Dich wirklich richtig verstehe, glaube ich: ja.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Do 19.04.2012 | | Autor: | Giraffe |
> > Aber jetzt habe ich´s oder?
> Falls ich Dich wirklich richtig verstehe, glaube ich: ja.
ja, denn nehmen wir das doch auch mal so.
DANKE DIR
LG
Sabine
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