Berechnen von z hoch 3 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die komplexe Zahl [mm] z^{3} [/mm] wobei [mm] z\in \IC
[/mm]
b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^{3} [/mm] = -1 unter Verwendung des Ansatzes z = a + bi, [mm] a,b\in \IR [/mm] |
Ich hab für die a) einfach den Ansatz genommen:
[mm] z^{3} [/mm] = [mm] (x+iy)^{3} [/mm] wobei x Realteil und y Imaginärteil ist und dann eben weitergerechnet:
= [mm] (x^{2} [/mm] + 2xyi - [mm] y^{2}) [/mm] * (x + iy)
= [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2}yi [/mm] - [mm] y^{2}x [/mm] + [mm] x^{2}iy [/mm] - [mm] 2xy^{2} [/mm] - [mm] iy^{3})
[/mm]
= [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2}yi [/mm] - [mm] 3xy^{2} [/mm] - [mm] iy^{3})
[/mm]
= [mm] [x^{3} [/mm] - [mm] 3xy^{2}] [/mm] + [mm] i[3x^{2}y [/mm] - [mm] y^{3}]
[/mm]
Stimmt das soweit?
Bei der b) hätte ich jetzt ein Gleichungssystem angesetzt, welches aber irgendwie extrem "unhandlich" wird:
Also -1 als komplexe Zahl ist ja: -1 + i * 0
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3xy^{2} [/mm] = -1
[mm] 3x^{2}y [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] = 0
Ich versuch die zweite Zeile nach x aufzulösen (ungeschickt?):
[mm] 3x^{2}y [/mm] = [mm] y^{3}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} y^{2}
[/mm]
x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] y
Wenn ich das jetzt oben einsetz wirds irgendwie richtig komisch mit 4 verschiedenen Fällen und ich bin mir bis dahin schon total unsicher. Deswegen erstmal meine Frage ob das bis dahin so stimmt oder ob ich mich doch irgendwo verrechnet hab (wovon ich ausgeh)?
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Hallo,
> a) Berechnen Sie die komplexe Zahl [mm]z^{3}[/mm] wobei [mm]z\in \IC[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^{3}[/mm] = -1
> unter Verwendung des Ansatzes z = a + bi, [mm]a,b\in \IR[/mm]
> Ich
> hab für die a) einfach den Ansatz genommen:
>
> [mm]z^{3}[/mm] = [mm](x+iy)^{3}[/mm] wobei x Realteil und y Imaginärteil ist
> und dann eben weitergerechnet:
>
> = [mm](x^{2}[/mm] + 2xyi - [mm]y^{2})[/mm] * (x + iy)
>
> = [mm](x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2}yi[/mm] - [mm]y^{2}x[/mm] + [mm]x^{2}iy[/mm] - [mm]2xy^{2}[/mm] - [mm]iy^{3})[/mm]
>
> = [mm](x^{3}[/mm] + [mm]3x^{2}yi[/mm] - [mm]3xy^{2}[/mm] - [mm]iy^{3})[/mm]
>
> = [mm][x^{3}[/mm] - [mm]3xy^{2}][/mm] + [mm]i[3x^{2}y[/mm] - [mm]y^{3}][/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja, das müsste so richtig sein.
> Bei der b) hätte ich jetzt ein Gleichungssystem angesetzt,
> welches aber irgendwie extrem "unhandlich" wird:
>
> Also -1 als komplexe Zahl ist ja: -1 + i * 0
>
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]3xy^{2}[/mm] = -1
>
> [mm]3x^{2}y[/mm] - [mm]y^{3}[/mm] = 0
>
> Ich versuch die zweite Zeile nach x aufzulösen
> (ungeschickt?):
>
> [mm]3x^{2}y[/mm] = [mm]y^{3}[/mm]
>
> [mm]x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} y^{2}[/mm]
>
> x = [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] y
>
> Wenn ich das jetzt oben einsetz wirds irgendwie richtig
> komisch mit 4 verschiedenen Fällen und ich bin mir bis
> dahin schon total unsicher. Deswegen erstmal meine Frage ob
> das bis dahin so stimmt oder ob ich mich doch irgendwo
> verrechnet hab (wovon ich ausgeh)?
Ich meine es wäre hier einfacher den Hrn. Euler zu bemühen:
r = -1 + 0i
[mm] $|r|=\wurzel{(-1)^2+0^2}=1$
[/mm]
[mm] $\varphi [/mm] = [mm] arctan\left(\bruch{0}{1}\right)+\pi=\pi$
[/mm]
[mm] $r=|r|*e^{i\varphi}$
[/mm]
[mm] $z_{1,2,3}=\wurzel[3]{r}=\wurzel[3]{1}*expi\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{3} \right)=cos\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{3} \right)+isin\left(\bruch{\varphi +k*2\pi}{3} \right)$
[/mm]
mit k=0;1;2
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Ikit |
Oh der sagt mir aber relativ wenig und das haben wir auch so noch nicht gemacht. Geht es nicht auch mit dem Gleichungssystem?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ikit!
Ja, es geht auch mit dem Gleichungssystem. Jedoch ist dieses um ein Vielfaches aufwändiger als z.B. die  Moivre-Formel.
Gruß
Loddar
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