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Forum "Zahlentheorie" - Berechnen von Modul
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Berechnen von Modul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Sa 25.06.2011
Autor: steve.joke

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] 2^j [/mm] (mod 127) für [mm] 0\le [/mm] j [mm] \le [/mm] 8 und [mm] 3^k [/mm] (mod 127) für 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \9. [/mm]

Ist 2 bzw. 3 eine Primitivwurzel (mod 127)?

Hallo,

bei dieser Aufgabe habe ich glaube ich den ersten Teil hinbekommen. Habe das einfach stumpf ausgerechnet, also so:

[mm] 128\equiv 2^0 [/mm] (mod 127)
.
.
.
383 [mm] \equiv 2^8 [/mm] (mod 127)

und

[mm] 128\equiv 3^0 [/mm] (mod 127)
.
.
.
[mm] 19810\equiv 3^9(=19683) [/mm] (mod 127)

Ich weiß zwar nicht, ob man das noch einfacher rechnen kann, aber so müsste es ja auch richtig sein, oder??

Beim dem zweiten Teil komme ich gerade nicht weiter.

wenn 2 bzw. 3 eine Primitivwurzel (mod 127) wären, dann müsste ja folgendes gelten:

[mm] 2^{\phi(127)=126)}\equiv [/mm] 1 (mod 127)
[mm] 3^{\phi(127)=126)}\equiv [/mm] 1 (mod 127)

Dabei muss 126 die kleine Zahl sein, womit diese Kongruenz möglich ist.

Nur wie kann ich das jetzt zeigen?? Denn bis zu [mm] 3^{126} [/mm] die Kongruenz auszurechnen, das wäre ja schwachsinn.

Grüße

        
Bezug
Berechnen von Modul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 So 26.06.2011
Autor: leduart

Edit Felix hat meinen Fehler bemerkt [mm] 2^6=64 [/mm] und [mm] 2^7=1mod127 [/mm]
Hallo
wenn du mod 127 rechnest soolten nur zahlen zwischen 0 und 126 vorkommen.
also [mm] 2^6=1mod [/mm] 127  denn [mm] 2^6=127+1deshal 2^7=2mod [/mm] 127 und [mm] 2^8 [/mm] 04mod 127
nachrechnen kannst dus mit [mm] 2^7=256=2*127+2: 2^8=512=4*127 [/mm] +4
aber gerechnet hab ich: [mm] 2^6=1 [/mm] mod127 daraus [mm] 2^7=2*2^6=2*1mod127 [/mm] usw.
[mm] 128=3^0 [/mm] mod 127 ist falsch  aber 127 ist keine potenz von 3
[mm] 3^0 [/mm] bis [mm] 3^4 [/mm] sind einfach die Zahlen selbst , also 1,3,9,27,81 mod 127
[mm] 3^5=243=116mod [/mm] 127  [mm] 3^9=198683=154*127+116 [/mm] also [mm] 3^9=116mod [/mm] 127=3^5mod 127
die zahlen sind doch immer die Reste bei division durch 127
wenn [mm] 3^5 [/mm] den Rest 116 lässt dann läßt [mm] 3^6 [/mm] den Rest 3*116 bzw den Rest 94.
wenn du jetzt [mm] 3^5 [/mm] und [mm] 3^9 [/mm] ansiehst kann jemals der Rest 1 rauskommen?
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Berechnen von Modul: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 00:48 So 26.06.2011
Autor: felixf

Moin leduart,

>  wenn du mod 127 rechnest soolten nur zahlen zwischen 0 und
> 126 vorkommen.
>  also [mm]2^6=1mod[/mm] 127  denn [mm]2^6=127+1deshal 2^7=2mod[/mm] 127 und
> [mm]2^8[/mm] 04mod 127
> nachrechnen kannst dus mit [mm]2^7=256=2*127+2: 2^8=512=4*127[/mm]
> +4

nicht ganz: [mm] $2^7 [/mm] = 128$ und [mm] $2^8 [/mm] = 256$. Damit ist [mm] $2^7 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{127}$ [/mm] und [mm] $2^8 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{127}$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Berechnen von Modul: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 So 26.06.2011
Autor: steve.joke

ok danke euch, habe es jetzt hinbekommen.

grüße

Bezug
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