Berechnen einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Ente0815 |
| Aufgabe | Berechnen sie folgende Summen (n [mm] \in [/mm] N, a [mm] \not=0, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1)
[mm] \summe_{k=1}^{n} a^{2k} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe leider ueberhaupt keine ahnung wie ich sie loesen soll. Weiss garnicht wie ich anfangen soll da das k im exponenten steht. Hoffe das mir jemand helfen kann und mir ein bisschen auf die spruenge hilft.
Danke im voraus!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ente0815,
> Berechnen sie folgende Summen (n [mm]\in[/mm] N, a [mm]\not=0,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a^{2k}[/mm]
Es gilt doch [mm]a^{2k} = \left(a^2\right)^k = \alpha^k[/mm] mit [mm]\alpha := a^2[/mm]. Und jetzt informiere dich über die ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe...
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Ente0815 |
Danke fuer deine Hilfe. Leider ist mir das alles nochnicht ganz klar. Hab schon viel nachgedacht komme aber jedoch nicht auf das ergebniss was in der Loesung steht.
habe: [mm] a_{0} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
[mm] also:a^{2} [/mm] * [mm] \bruch{1-(a^{2})^{n+1}}{1-a^{2}}
[/mm]
Was aber auch nicht das ist was in der loesung steht :(
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Hallo,
Für die endliche geometrische Reihe gilt, wie Du z.B. in dem von Karl Pech gegebenen Link lesen kannst:
[mm] s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 \cdot q^k [/mm] .
Du möchtest $ [mm] \summe_{k=1}^{n} a^{2k} [/mm] $ berechnen, anders aufgeschrieben $ [mm] \summe_{k=1}^{n} (a^2)^k [/mm] $
Nun müssen wir mal zuordnen, welcher Buchstabe in der oberen Summe welchem in der unteren entspricht.
Das Element, welches potenziert wird, ist oben q, unten [mm] a^2.
[/mm]
>
> habe: [mm]a_{0}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm]
Wie kommst Du darauf? Das [mm] a_0 [/mm] oben, ist ein Faktor, mit welchem die Potenz jeweils multipliziert wird.
Wie ist dieser Faktor in Deiner Summe? Ja nicht [mm] a^2, [/mm] oder?
Nächster Unterschied: oben beginnt die Summation bei 0, bei Deiner Summe bei 1. Wenn Du die Formel für die Summation beginnend mit 0 verwendest, mußt Du also einen Term subtrahieren.
Andere Möglichkeit: Du machst bei Deiner Summe eine Indexverschiebung, so daß sie ab 0 läuft.
Dann ändert sich natürlich auch die obere Grenze - und wenn ich Revue passieren lasse, was Du schreibst, komme ich zu dem Schluß, daß Du genau solche eine Indexverschiebung gemacht hast, aber vergessen hast, sie auch bei der oberen Grenze durchzuführen.
Das ist meine Mutmaßung, da Du keinen Rechenweg angibst, bin ich aufs Hellsehen angewiesen.
Prüf' den Hinweis mal und schau, ob's das war.
Wenn nicht: fragen - mit Rechnung!
Gruß v. Angela
> [mm]also:a^{2}[/mm] * [mm]\bruch{1-(a^{2})^{n+1}}{1-a^{2}}[/mm]
>
>
> Was aber auch nicht das ist was in der loesung steht :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Ente0815 |
Danke, jetzt hab ichs hoffentlich bald. Den einen Fehler hab ich schon gesehen.
hab jetzt: der faktor [mm] a_{0} [/mm] = 1
q = [mm] a^{2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} (a^{2})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} (a^{2})^{k}
[/mm]
daraus folgt nach http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe :
1 * [mm] \bruch{1-a^{2}^{n}}{1-a^{2}}
[/mm]
in der Loesung steht aber:
[mm] a^{2}* \bruch{(1-a^{2}^{n})}{1-a^{2}} [/mm]
jetzt hab ich nur noch keine ahnung wo das [mm] a^{2} [/mm] herkommt.
hoffe ihr koennt mir noch mal kurz helfen :)
Danke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ente,
> \summe_{k=1}^{n} (a^{2})^{k} = \summe_{k=0}^{n-1} (a^{2})^{k} ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du den Summationsindex verschiebst, so musst du das konsequent machen, also auch im Ausdruck in der Summe !
Also $\summe_{k=1}^{n} (a^{2})^{k}=\summe_{\red{k=0}}^{\red{n-1}}(a^2)^{\red{k+1}$
Kleine Merkregel: Wenn du den Summationsindex verminderst, musst du ihn im Ausdruck in der Summe erhöhen und umgekehrt
> daraus folgt nach
> http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe :
>
> 1 * [mm]\bruch{1-a^{2}^{n}}{1-a^{2}}[/mm]
>
> in der Loesung steht aber:
>
> [mm]a^{2}* \bruch{(1-a^{2}^{n})}{1-a^{2}}[/mm]
>
>
> jetzt hab ich nur noch keine ahnung wo das [mm]a^{2}[/mm] herkommt.
>
> hoffe ihr koennt mir noch mal kurz helfen :)
>
> Danke
>
[mm] $\summe_{k=0}^{n-1} (a^{2})^{k+1}=\summe_{k=0}^{n-1} a^{2}\cdot{}(a^2)^k=a^2\cdot{}\summe_{k=0}^{n-1}(a^2)^k=.....$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 13.10.2007 | | Autor: | Ente0815 |
Danke an euch alle! Habt mir alle viel weiter geholfen!
Vielen dank nochmal!
gruss ente
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