Berechnen einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien I, I' offene Intervalle und f, [mm] f_x [/mm] : I [mm] \times [/mm] I' [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R. Dann ist die durch
[mm] \Phi(x,u,v) [/mm] = [mm] \int_{u}^v [/mm] f(t,x) [mm] \,dt \qquad x\in [/mm] I', [mm] u,v\in [/mm] I
definierte Funktion von der Klasse [mm] C^1, [/mm] und es gilt
[mm] \nabla\Phi(x,u,v) [/mm] = [mm] \left( \int_{u}^{v}f_x(t,x) \,dt, -f(u,x), f(v,x) \right) [/mm] .
Sind überdies [mm] a,b\in C^1(I'), [/mm] so ist
[mm] x\rightarrow \phi :=\Phi(x,a(x),b(x)) [/mm] = [mm] \int_{a(x)}^{b(x)}f(t,x) \,dt [/mm]
von der Klasse [mm] C^1 [/mm] aus I', und es gilt
[mm] \phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x) [/mm] .
Berechnen Sie nun [mm] \phi'(x) [/mm] für [mm] \phi(x):=\int_{ln(x)}^{x^2}sin(t*x) \,dt [/mm] |
Hallo zusammen,
meine Frage bezüglich dieser Aufgabe ist, ob ich mit meinem Ansatz richtig liege, weilich da schon etwas ziemlich merkwürdiges rauskriege (was ja nicht unbedingt schlecht sein muss).
Ich habe angenommen, dass
f(t,x) := sin(tx) ,
a(x) := ln(x),
b(x):= [mm] x^2,
[/mm]
und all dies mit den entsprechenden Ableitungen in
[mm] \phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x)
[/mm]
eingesetzt. Also:
[mm] \phi'(x)=\int_{ln(x)}^{x^2}t*cos(tx) \,dt+sin(x^3)*2x-\frac{sin(ln(x)*x)}{x}
[/mm]
Ist das der richtige Weg oder missachte ich hier etwas? Ich kann gerne meine Endlösung hier posten, wenns jmd interessiert. Die war aber in 3 Schritten erledigt.
Bin sehr froh und dankbar über Antworten!
PS: Sorry für das nicht ganz so schöne Layout der Aufgabenstellung, fange grad mit TeX an.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien I, I' offene Intervalle und f, [mm]f_x[/mm] : I [mm]\times[/mm] I'
> [mm]\rightarrow \mathbb[/mm] R. Dann ist die durch
> [mm]\Phi(x,u,v)[/mm] = [mm]\int_{u}^v[/mm] f(t,x) [mm]\,dt \qquad x\in[/mm] I', [mm]u,v\in[/mm]
> I
> definierte Funktion von der Klasse [mm]C^1,[/mm] und es gilt
> [mm]\nabla\Phi(x,u,v)[/mm] = [mm]\left( \int_{u}^{v}f_x(t,x) \,dt, -f(u,x), f(v,x) \right)[/mm]
> .
>
> Sind überdies [mm]a,b\in C^1(I'),[/mm] so ist
> [mm]x\rightarrow \phi :=\Phi(x,a(x),b(x))[/mm] =
> [mm]\int_{a(x)}^{b(x)}f(t,x) \,dt[/mm]
> von der Klasse [mm]C^1[/mm] aus I', und es gilt
> [mm]\phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x)[/mm]
> .
>
> Berechnen Sie nun [mm]\phi'(x)[/mm] für
> [mm]\phi(x):=\int_{ln(x)}^{x^2}sin(t*x) \,dt[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> meine Frage bezüglich dieser Aufgabe ist, ob ich mit
> meinem Ansatz richtig liege, weilich da schon etwas
> ziemlich merkwürdiges rauskriege (was ja nicht unbedingt
> schlecht sein muss).
>
> Ich habe angenommen, dass
>
> f(t,x) := sin(tx) ,
> a(x) := ln(x),
> b(x):= [mm]x^2,[/mm]
>
> und all dies mit den entsprechenden Ableitungen in
> [mm]\phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x)[/mm]
>
> eingesetzt. Also:
>
> [mm]\phi'(x)=\int_{ln(x)}^{x^2}t*cos(tx) \,dt+sin(x^3)*2x-\frac{sin(ln(x)*x)}{x}[/mm]
>
>
> Ist das der richtige Weg
Ja
> oder missachte ich hier etwas?
Nein
> Ich
> kann gerne meine Endlösung hier posten
"Endlösung" ist kein scönes Wort: http://www.judentum-projekt.de/geschichte/nsverfolgung/endloesung/index.html
FRED
> , wenns jmd
> interessiert. Die war aber in 3 Schritten erledigt.
>
> Bin sehr froh und dankbar über Antworten!
>
> PS: Sorry für das nicht ganz so schöne Layout der
> Aufgabenstellung, fange grad mit TeX an.
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> > Seien I, I' offene Intervalle und f, [mm]f_x[/mm] : I [mm]\times[/mm] I'
> > [mm]\rightarrow \mathbb[/mm] R. Dann ist die durch
> > [mm]\Phi(x,u,v)[/mm] = [mm]\int_{u}^v[/mm] f(t,x) [mm]\,dt \qquad x\in[/mm] I', [mm]u,v\in[/mm]
> > I
> > definierte Funktion von der Klasse [mm]C^1,[/mm] und es gilt
> > [mm]\nabla\Phi(x,u,v)[/mm] = [mm]\left( \int_{u}^{v}f_x(t,x) \,dt, -f(u,x), f(v,x) \right)[/mm]
> > .
> >
> > Sind überdies [mm]a,b\in C^1(I'),[/mm] so ist
> > [mm]x\rightarrow \phi :=\Phi(x,a(x),b(x))[/mm] =
> > [mm]\int_{a(x)}^{b(x)}f(t,x) \,dt[/mm]
> > von der Klasse [mm]C^1[/mm] aus I', und es gilt
> > [mm]\phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x)[/mm]
> > .
> >
> > Berechnen Sie nun [mm]\phi'(x)[/mm] für
> > [mm]\phi(x):=\int_{ln(x)}^{x^2}sin(t*x) \,dt[/mm]
> >
> > Hallo zusammen,
> > meine Frage bezüglich dieser Aufgabe ist, ob ich mit
> > meinem Ansatz richtig liege, weilich da schon etwas
> > ziemlich merkwürdiges rauskriege (was ja nicht unbedingt
> > schlecht sein muss).
> >
> > Ich habe angenommen, dass
> >
> > f(t,x) := sin(tx) ,
> > a(x) := ln(x),
> > b(x):= [mm]x^2,[/mm]
> >
> > und all dies mit den entsprechenden Ableitungen in
> > [mm]\phi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f_x(t,x) \,dt+f(b(x),x)*b'(x)-f(a(x),x)*a'(x)[/mm]
>
> >
> > eingesetzt. Also:
> >
> > [mm]\phi'(x)=\int_{ln(x)}^{x^2}t*cos(tx) \,dt+sin(x^3)*2x-\frac{sin(ln(x)*x)}{x}[/mm]
>
> >
> >
> > Ist das der richtige Weg
>
> Ja
>
> > oder missachte ich hier etwas?
>
> Nein
>
>
>
> > Ich
> > kann gerne meine Endlösung hier posten
>
> "Endlösung" ist kein scönes Wort:
> http://www.judentum-projekt.de/geschichte/nsverfolgung/endloesung/index.html
Sehe ich ein, auch wenn der Sachzusammenhang ein ganz anderer ist...
>
> FRED
>
>
> > , wenns jmd
> > interessiert. Die war aber in 3 Schritten erledigt.
> >
> > Bin sehr froh und dankbar über Antworten!
> >
> > PS: Sorry für das nicht ganz so schöne Layout der
> > Aufgabenstellung, fange grad mit TeX an.
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