Berechne g'(x) und g''(x)! < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mo 10.11.2014 | | Autor: | noobnoob |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion g(x) = ln (x + [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] ). |
Wie leite ich diese Gleichung ab.
Ich weiß das ich da die Kettenregel anwenden muss aber wie?
Also die erste Ableitung von ln ist ja [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
von Wurzel [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
und von x²+1 ist die Ableitung 2x
aber ich verstehe nicht wie ich weiter rechnen soll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 10.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo noobnoob und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Gegeben sei die Funktion g(x) = ln (x + [mm]\wurzel{x²+1}[/mm] ).
>
> Wie leite ich diese Gleichung ab.
> Ich weiß das ich da die Kettenregel anwenden muss aber
> wie?
>
> Also die erste Ableitung von ln ist ja [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> von Wurzel [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
> und von x²+1 ist die Ableitung 2x
Richtig. Wir setzen
[mm] f(x):=x+\sqrt{x^2+1},
[/mm]
so dass
[mm] g(x)=\ln(f(x)).
[/mm]
Dann gilt:
[mm] g'(x)=\frac{1}{f(x)}*f'(x).
[/mm]
Jetzt wieder du.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 10.11.2014 | | Autor: | noobnoob |
Danke für deine Antwort.
Habe das mal ausgerechnet - ist das mathematisch in Ordnung?
g'(x) = [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] * f'(x)
g'(x) = [mm] \bruch{1}{x + \wurzel{x^2 +1}} [/mm] * 1 + [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}} [/mm] * 2x
g'(x) = [mm] \bruch{x + \wurzel{x^2+1}}{x + 2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
g'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 10.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Bitte Fragen als Frage und nicht als Mitteilungen stellen. Sonst
kann es passieren, dass deine Fragen untergehen.
> Habe das mal ausgerechnet - ist das mathematisch in Ordnung?
>
> g'(x) = [mm]\bruch{1}{f(x)}[/mm] * f'(x)
>
> g'(x) = [mm]\bruch{1}{x + \wurzel{x^2 +1}}[/mm] * 1 +
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}[/mm] * 2x
Klammern sind hier wichtig! Es ist
[mm] g'(x)=\bruch{1}{x + \wurzel{x^2 +1}} *\left( 1 +\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}* 2x\right).
[/mm]
> g'(x) = [mm]\bruch{x + \wurzel{x^2+1}}{x + 2*\wurzel{x^2+1}}[/mm]
Das sehe ich gerade nicht.
> g'(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
Richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 10.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Im Grunde geht es hier um die richtige Anwendung der Ableitungs-
regeln, allerdings kannst du dir diese auch selbst für die zweite
Ableitung schnell herleiten, so dass du nur noch einsetzen musst.
Das sollte man auch in der Oberschule schaffen können. Es ist
[mm] $f(x):=g(h(x))\$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x)=g'(h(x))*h'(x)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] f''(x)=g''(h(x))*h'(x)+g'(h(x))*h''(x)$.
Vielleicht bildest du nun [mm] $f'''(x)\$? [/mm] 
Gruß
DieAcht
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