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Forum "Formale Sprachen" - Berechenbarkeit/Aufzählbarkeit
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Berechenbarkeit/Aufzählbarkeit: einfach, f. jeden verständlich
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:47 Di 16.06.2009
Autor: neuling_hier

Aufgabe
Zeigen Sie:

Eine nichtleere, aufzählbare Sprache L [mm] \subseteq \Sigma^\* [/mm] ist das Bild einer totalen berechenbaren Funktion f: [mm] \Sigma^\* \rightarrow \Sigma^\*. [/mm]

Hallo liebes Forum,

für den o.g. Satz gilt sogar die Äquivalenz, ich komme aber bei der angegebenen Richtung nicht weiter.

- Erst einmal zum Verständnis:

Ich betrachte also eine nichtleere Sprache L [mm] \subseteq \Sigma^\*, [/mm] die aufzählbar ist; d.h. es existiert ein Algorithmus A, der (mit leerer Eingabe gestartet) alle Wörter aus L "ausspuckt" und i.a. nicht stoppt.

Nun soll es also eine Funktion f geben mit L = Bild(f), und zwar so, daß f total auf [mm] \Sigma^\* [/mm] ist, also für jedes Eingabewort w eine Ausgabe liefert.

- Meine Idee:

Es sei [mm] v\in [/mm] L beliebig (L ist lt. Vor. nicht leer). Betrachte die Funktion f:

f: [mm] \Sigma^\* \rightarrow \Sigma^\* [/mm] , [mm] w\mapsto\begin{cases} w & {\rm falls}\,\, w\in L \\ v & {\rm falls}\,\, w\not\in L. \end{cases} [/mm]

Offenbar gilt L = Bild(f).

- Problem: Ich kann nicht zeigen, daß diese Funktion f berechenbar ist ;-(

Angenommen, ich starte für jedes [mm] w\in\Sigma^\* [/mm] den Aufzählungsalgorithmus A (mit leerer Eingabe). Ich vergleiche dann jede Ausgabe von A mit dem jeweiligen w. Falls [mm] w\in [/mm] L, gibt A irgendwann w aus, und ich weiß dann, daß [mm] w\in [/mm] L gilt. Falls aber [mm] w\not\in [/mm] L, gibt A nicht w aus und terminiert evtl. nicht. Dann terminiert auch mein Algorithmus nicht bzw. "hängt fest".

- Hat jemand eine Idee, wie es funktioniert?!

Danke!!

        
Bezug
Berechenbarkeit/Aufzählbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Do 18.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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