Beispiel von Äquivalenzrelatio < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum,
ich habe derzeit noch ein Paar Verständnisschwierigkeiten bei der Definition bzw. der Anwendung der Äquivalenzrelation. Mir ist der Unterschied zwischen symmetrisch und reflexiv nicht ganz klar.
Bsp:
A x A = {(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
Es gilt: R1 = {(x,y)|x=y}
Das soll eine Äquivalenzrelation hinsichtlich der Gleichheit sein.
Nun frage ich mich, wo hier der Unterschied bezüglich Reflexivität und Symmetrie ist?
Ist (2,2) nun reflexiv oder nur symmetrisch?
Bitte um Hilfe
Gruss
webraccoon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 02.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> A x A = {(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
> Es gilt: R1 = {(x,y)|x=y}
also ist R1={(2,2);(3,3)}
> Nun frage ich mich, wo hier der Unterschied bezüglich
> Reflexivität und Symmetrie ist?
> Ist (2,2) nun reflexiv oder nur symmetrisch?
also R1 ist beides, denn (Reflexivität:) für jedes x aus A gilt: (x,x) ist in R1.
Und (Symmetrie) wenn (x,y) in R1 ist, dann auch (y,x)
in R1 gibt es halt nur keine unterschiedlichen x und y so dass (x,y) in R1 wäre, aber dies muss natürlich auch für x=y gelten (was es aber logischer weise immer tut : wenn (x,x) in R1, dann auch (x,x) ... )
viele Grüße
DaMenge
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Hi,
danke erstmal für Deine schnelle Antwort.
Die einfachen Beispiele sind zwar leicht verständlich aber helfen meistens nicht die Brücke zum Schwierigen zu schlagen.
Eine andere Relation:
R2 = {(x,y)|x>y} = {(3,2),(4,2),(5,3)}
demnach ist diese Relation nicht symmetrisch, da x ungleich y ist. Was aber ist mit Reflexivität? Hier ist ja die Definition x ist zu x reflexiv, also aus (3,2) 3 zu 3 oder nicht?
Gruss
webraccoon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 02.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
dein A hat sich geändert, oder?
also Reflexiv bedeutet, dass für alle x aus A (x,x) dabei sein muss
wenn R2 = {(3,2),(4,2),(5,3)}
dann ist zum Beispiel nicht (2,2) darin, also ist es nicht reflexiv.
Symmetrie bedeutet wenn (x,y) darin ist, dann auch (y,x)
in R2 ist zwar (3,2) aber nicht (2,3) also ist es nicht symmetrisch.
anderes Beispiel:(A={2,3})
R3={(2,3);(3,2);(2,2)}
dies ist symmetrisch, aber nicht reflexiv denn (3,3) fehlt
und
R4={(2,2);(2,3);(3,3)}
ist reflexiv aber nicht symmetrisch, denn aus (2,3) müsste folgen, dass auch (3,2) in R4 ist...
viele Grüße
DaMenge
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