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Hallo,
ich überlege mir gerade Beispiele für eine Funktion, die beschränkt aber nicht monoton ist.
Wisst Ihr noch ein schönes (einfaches) Beispiel außer der Dirichletfunktion, oder [mm] sin:\IR \to \IR [/mm] bzw. cos: [mm] \IR \to \IR?
[/mm]
Gruß
Anna
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Hallo,
vielleicht folgende:
[mm] $f:\IR\to\IR:$
[/mm]
$f(x) = [mm] e^{-x^2}$.
[/mm]
Alternativ auch folgende
[mm] $f:\IR\textbackslash\{0\}\to\IR$
[/mm]
$f(x) = [mm] e^{-\frac{1}{x^2}}$
[/mm]
Die kannst mit "0" im Nullpunkt stetig ergänzen. Sie ist übrigens auch das übliche Beispiel für eine Funktion, deren Taylor-Reihe nur im Nullpunkt konvergiert, wenn man um den Nullpunkt entwickelt.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
DANKE für die Beispiele.
Nun überlege ich gerade, gibt es eigentlich auch eine beschränkte Funktion f:[a,b] [mm] \to \IR, [/mm] die nicht monoton ist?
Denn es gilt ja, dass jede Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall monoton ist, auch beschränkt ist. Oder ist das ein hinreichender Satz, also gibt es kein Gegenbeispiel?
Danke,
Anna
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Hallo!
Aber meine beiden Beispiele auf [-1,1] sind doch beschränkt und nicht monoton?
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
ähm, sorry. Klar. Und
f: [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] f(x):=e^{-x^2}
[/mm]
ist beschränkt, weil [mm] \|f\| [/mm] < 3, richtig?
Und nicht monoton, weil
-1 < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] => f(-1) > [mm] f(\bruch{1}{2}) [/mm] also nicht monoton wachsend
-1 < 0 => f(0)= 1 < f(-1) also nicht monoton fallend
Richtig?
Danke,
Anna
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Hallo,
> Hallo Stefan,
>
> ähm, sorry. Klar. Und
> f: [-1,1] [mm]\to \IR[/mm] , [mm]f(x):=e^{-x^2}[/mm]
> ist beschränkt, weil [mm]\|f\|[/mm] < 3, richtig?
Genau, es reicht aber auch
$||f|| [mm] \le [/mm] 1$.
> Und nicht monoton, weil
> -1 < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] => f(-1) > [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] also nicht
> monoton wachsend
> -1 < 0 => f(0)= 1 < f(-1) also nicht monoton fallend
Du hast beides Mal Beispiele für "nicht monoton fallend" gebracht!
Nimm doch einfach:
f(-1)<f(0)>f(1)
Daraus erhältst du sofort, das keine Monotonie vorliegt.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
> > Und nicht monoton, weil
> > -1 < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] => f(-1) > [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] also
> nicht
> > monoton wachsend
>
> > -1 < 0 => f(0)= 1 < f(-1) also nicht monoton fallend
>
> Du hast beides Mal Beispiele für "nicht monoton fallend"
> gebracht!
Wieso? Beim ersten habe ich gezeigt, dass x < y => f(x) > f(y) und somit nicht monoton wachsend, beim zweiten x < y => f(x) < f(y) und somit nicht monoton fallend? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Nimm doch einfach:
>
> f(-1)<f(0)>f(1)
Aber es ist f(-1)=f(1) oder nicht?
Danke,
Anna
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Hallo,
> Hallo Stefan,
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> > > Und nicht monoton, weil
> > > -1 < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] => f(-1) > [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] also
> > nicht
> > > monoton wachsend
> >
> > > -1 < 0 => f(0)= 1 < f(-1) also nicht monoton fallend
> >
> > Du hast beides Mal Beispiele für "nicht monoton fallend"
> > gebracht!
>
> Wieso? Beim ersten habe ich gezeigt, dass x < y => f(x) >
> f(y) und somit nicht monoton wachsend, beim zweiten x < y
> => f(x) < f(y) und somit nicht monoton fallend?
Ich hätte etwas detaillierter sein sollen:
Du schreibst oben f(-1) > f(1/2), das stimmt aber gar nicht. Es ist f(-1) < f(1/2).
> > Nimm doch einfach:
> >
> > f(-1)<f(0)>f(1)
>
> Aber es ist f(-1)=f(1) oder nicht?
Ja, aber das schadet nicht. (Wieso sollte es?)
Es ist
-1 < 0 < 1,
aber
f(-1) < f(0) > f(1).
Damit ist einerseits
-1 < 0 und f(-1) < f(0)
andererseits
1 > 0 und f(1) < f(0).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 So 07.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Stefan,
klar, keine Ahnung was ich da gerechnet hatte.
Danke!
Anna
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