Begriffsklärung Konvergenzen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Markus80 |
Hi Matheteam,
unsere Definition für P-fast-sichere Konvergenz lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m=n}^{\infty}{|Xm-X|\ge\varepsilon}) [/mm] = 0
und die für stochastische Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P({|Xn-X|\ge\varepsilon}) [/mm] = 0
Jetzt lautet meine Frage, stimmen die beiden folgenden Interpretationen?
zu P-fast-sichere Konvergenz: Bei dieser Konvergenzart enthält jede Folge von konvergenten Zufallsvariablen wiederum eine Folge von konvergenten Zufallsvariablen.
zu stochastischer Konvergenz: Bei dieser Konvergenz konvergiert nur die gesamte Folge der Zufallsvariablen.
Danke schonmal fürs Antworten!
Viele Grüße,
Markus
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Hallo,
> Hi Matheteam,
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> unsere Definition für P-fast-sichere Konvergenz lautet:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m=n}^{\infty}{|Xm-X|\ge\varepsilon})[/mm]
> = 0
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> und die für stochastische Konvergenz:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P({|Xn-X|\ge\varepsilon})[/mm] = 0
>
> Jetzt lautet meine Frage, stimmen die beiden folgenden
> Interpretationen?
>
> zu P-fast-sichere Konvergenz: Bei dieser Konvergenzart
> enthält jede Folge von konvergenten Zufallsvariablen
> wiederum eine Folge von konvergenten Zufallsvariablen.
Verstehe ich nicht, was du damit meinst (willst du auf Teilfolgen hinaus?). Die fast-sichere Konvergenz kann man auch so schreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_n [/mm] = X p-f.ü., d.h. du kannst die fast-sichere Konvergenz als punktweise Konvergenz von Funktionsfolgen auffassen, wobei die Menge der Punkte, in denen die Folge nicht konvergiert vom Maß Null ist (deshalb Konvergenz "P"-f.ü.. Betrachte folgende Funktion:
[mm] X_n [/mm] = [mm] w^{n} [/mm] mit w [mm] \in [/mm] [0,1] auf der Borelschen sigma-Algebra [mm] \mathcal{B}_|[0,1] [/mm] mit dem Lebsque-Maß. Dann Konvergiert [mm] X_n [/mm] P-f.ü. gegen X = 0. D.h. [mm] X_n [/mm] konvergiert in fast jedem Punkt gegen X = 0 und die Punkte für die das nicht so ist (hier {1}), sind vom Maß 0 (es gilt: [mm] \lambda [/mm] ({1}) = 0).
> zu stochastischer Konvergenz: Bei dieser Konvergenz
> konvergiert nur die gesamte Folge der Zufallsvariablen.
Im Gegenteil: Bei stochatsischer Konvergenz muss nicht eine richtige Konvergenz von [mm] X_n [/mm] gegen X vorliegen. Vielmehr konvergiert die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse w mit [mm] |X_n [/mm] (w) - X (w)| > [mm] \epsilon [/mm] gegen Null (hier konvergieren also die Werte der W_Maße).
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Markus80 |
Ja, bei der p-fast-sicheren Konvergenz möchte ich auf die Teilfolgen hinaus. Danke allerdings für deinen geschilderten Aspekt der punktweisen Konvergenz von Funktionsfolgen bez. der fast-sicheren Konvergenz. Auch das Beispiel ist fein!
Das mit der stochastischen Konvergenz hingegen hatte ich dann wohl missverstanden, danke für die Klärung.
Wäre nur noch das mit der p-fast-sicheren Konvergenz von Teilfolgen zu klären!? Also, das was ich mit der Vereinigung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m=n}^{\infty}{|Xm-X|\ge\varepsilon}) [/mm] meinte, ist in meinem Skript ein Lemma, welches deiner dargestellten Definition "fast-sichere Konvergenz" folgt, und das möchte ich halt verstehen. Kann das eigentlich auch so formuliert werden (siehe Vereinigungssymbol unten) ?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m\ge n}^{\infty}{|Xm-X|\ge\varepsilon})
[/mm]
Viele Grüße,
Markus
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Hallo,
> und das möchte ich halt verstehen. Kann das eigentlich auch
> so formuliert werden (siehe Vereinigungssymbol unten) ?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m\ge n}^{\infty}{|Xm-X|\ge\varepsilon})[/mm]
Ja, so kann man es formulieren. Es gibt auch ein Cauchy-Kriterium für P-f.ü. Konvergenz mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{m\ge n}^{\infty}{|X_m-X_n|\ge\varepsilon}) [/mm] = 0
Ich denke mal, dass es das ist was du suchst.
Viele Grüße, Steffen
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