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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Kreislinie
S^-1 := {x [mm] \in R^2 [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] =1}
Zeigen Sie, dass S^-1 eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] R^2 [/mm] ist und geben Sie einen Diffeomorphismus "phi": U(1,0) [mm] \to [/mm] U(0,0) und
[mm] "phi"(K\cap [/mm] U(1,0)) = {(x,y) [mm] \in [/mm] U(0,0) | x=0} |
Hallo!
Den ersten Aufgabenteil habe ich schon gezeigt, den zweiten habe ich eben mal versucht.
Ist es richtig, dass "phi" so aussieht?
"phi": U(1,0) [mm] \to [/mm] U(0.0)
x [mm] \to (\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] -1 , 0)
Wenn ja, wäre es wunderbar, wenn nein, was ist falsch bzw wie ist es richtig?
danke
LG
Linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Hallo!
Weiß von euch echt keiner, wie das geht und ob meine Lösung richtig ist??
Wäre sehr wichtig zu wissen...
Bin für jede Antwort dankbar - auch wenn sich jemand nicht 100%ig sicher ist.
Danke!
lg
Linda
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Hi Linda,
> Wir betrachten die Kreislinie
> S^-1 := ...
>....
> Hallo!
>
> Den ersten Aufgabenteil habe ich schon gezeigt, den zweiten
> habe ich eben mal versucht.
> Ist es richtig, dass "phi" so aussieht?
>
> "phi": U(1,0) [mm]\to[/mm] U(0.0)
> x [mm]\to (\parallel[/mm] x [mm][mm] \parallel_{2} [/mm] -1 , 0)
>
Nein, ganz so einfach geht es nicht. Schau mal, wenn immer eine 0 in der zweiten Komponente steht, kann die abbildung schlecht bijektiv sein, oder?
Allerdings ist deine idee auch nicht ganz falsch. ich würde es mal über eine 'umgedrehte' polarkoordinaten-abbildung versuchen. die sieht ja so aus:
[mm] $f(r,\theta)=r(\cos \theta,\sin \theta)=x$
[/mm]
und ist außer für $r=0$ (also den Nullpunkt) überall ein lokaler Diffeomorphismus. Man könnte nun folgende abbildung definieren:
[mm] $x\mapsto (\theta,r-1), x\in \IR^2$ [/mm] wie oben.
Diese Abbildung sollte eigentlich alle gewünschten eigenschaften haben, das müsstest du dann nochmal genau nachprüfen.
Gruß
Matthias
> Wenn ja, wäre es wunderbar, wenn nein, was ist falsch bzw
> wie ist es richtig?
>
> danke
>
> LG
>
> Linda
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