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| Aufgabe | Sei I eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und [mm] x_0 \in [/mm] I. Man betrachte den Vektorraum aller Abbildungen f: I [mm] \to \IR [/mm] (punktweise Operation) und daruf die Abbildung
[mm]||f|| := |f(x_0)| \in \IR. [/mm]
Unter welchen Bedingungen an I ist das eine Norm? |
Hi,
also folgendes gilt:
N2 [mm]||\lambda f|| = |\lambda f(x_0)| = |\lambda| |f(x_0)| = |\lambda| ||f|| [/mm]
und N3
[mm]||f+g|| = |f(x_0) + g(x_0)| \le |f(x_0)| + |g(x_0)| = ||f|| + ||g|| [/mm]
so nun zu N1. Es muss gelten ||f|| = 0 gdw. wenn f = 0, also die Nullabbildung richtig?
da aber in der Definition von ||f|| nur ein Punkt [mm] x_0 [/mm] überprüft wird. Kann ich ja aus [mm] f(x_0) [/mm] = 0 nur dann darauf schließen, dass f eine Nullabildung ist, wenn I einelementig ist? Leider bin ich mir aber unsicher und weiß nicht, ob ich hier den richtigen Ansatz verfolge...
Ich würde mich über Hilfe freuen
MfG
MeineKekse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Do 13.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo MeineKekse,
> Sei I eine nichtleere Teilmenge von [mm]\IR[/mm] und [mm]x_0 \in[/mm] I. Man
> betrachte den Vektorraum aller Abbildungen f: I [mm]\to \IR[/mm]
> (punktweise Operation) und daruf die Abbildung
> [mm]||f|| := |f(x_0)| \in \IR. [/mm]
>
> Unter welchen Bedingungen an I ist das eine Norm?
>
> Hi,
>
> also folgendes gilt:
>
> N2 [mm]||\lambda f|| = |\lambda f(x_0)| = |\lambda| |f(x_0)| = |\lambda| ||f|| [/mm]
>
> und N3
>
> [mm]||f+g|| = |f(x_0) + g(x_0)| \le |f(x_0)| + |g(x_0)| = ||f|| + ||g|| [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Bei letzterem hast Du auch $(f + [mm] g)(x_0):=f(x_0)+g(x_0)$ [/mm] gebraucht!)
> so nun zu N1. Es muss gelten ||f|| = 0 gdw. wenn f = 0,
> also die Nullabbildung richtig?
Richtig. Wobei hier ja klar ist:
Aus [mm] $f=0\,$ [/mm] folgt [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] und damit auch [mm] $\|f\|=0\,.$ [/mm] Bleibt also noch zu gucken,
ob wir eine Bedingung für die umgekehrte Folgerung [mm] ($\|f\|=0$ $\Rightarrow$ $f=0\,$) [/mm] benötigen!
> da aber in der Definition von ||f|| nur ein Punkt [mm]x_0[/mm]
> überprüft wird. Kann ich ja aus [mm]f(x_0)[/mm] = 0 nur dann
> darauf schließen, dass f eine Nullabildung ist, wenn I
> einelementig ist? Leider bin ich mir aber unsicher und
> weiß nicht, ob ich hier den richtigen Ansatz verfolge...
Ich sehe das genauso wie Du: Sei [mm] $\|f\|=0\,.$ [/mm] Wir wollen daraus schon schließen,
dass dann für $f [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] schon $f(x) [mm] \stackrel{I}{\equiv} [/mm] 0$ gilt.
Aus [mm] $\|f\|=0$ [/mm] können wir aber nur [mm] $|f(x_0)|=f(x_0)=0$ [/mm] folgern. Also muss, weil $I [mm] \not=\varnothing$
[/mm]
gelten muss, dann [mm] $I=\{x_0\}$ [/mm] gelten.
(Falls noch jemand an diesem Beweis zweifelt: Ist $y [mm] \in [/mm] I [mm] \setminus \{x_0\}$ [/mm] wählbar,
so definiere man
$g [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$
[/mm]
mit $g(x) [mm] \stackrel{I \setminus \{y\}}{;\equiv}0$ [/mm] und [mm] $g(y):=1\,.$
[/mm]
Dann ist $g [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\|g\|=0\,,$ [/mm] obwohl $g(x) [mm] \stackrel{I}{\not\equiv}0\,.$
[/mm]
Für [mm] $\varnothing \not= [/mm] I [mm] \not= \{x_0\}$ [/mm] können wir also eine Abbildung $I [mm] \to \IR$ [/mm] definieren,
bei der, wenn man [mm] $\|.\|$ [/mm] auf sie anwendet, Null herauskommt, obwohl diese
Abbildung nicht die auf [mm] $I\,$ [/mm] identische Nullabbildung ist!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Do 13.03.2014 | | Autor: | MeineKekse |
super,
Vielen Dank
MeineKekse
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