Bedingung an Laurentreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $E\subset\IC$ [/mm] sei die offene Einheitskreisscheibe, [mm] $q\in E\textbackslash\{0\}$. [/mm] Bestimme alle holomorphen Funktionen [mm] f:\IC\{0\}\to\IC [/mm] mit $f(z) = [mm] q*z*f(q^{2}*z)$ [/mm] in Form ihrer Laurentreihen. |
Hallo!
Ich habe mir erstmal eine beliebige Laurentreihe um den Entwicklungspunkt 0 vorgenommen:
$f(z) = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k}$.
[/mm]
Diese konvergiert für $r < |z| < R$ für irgendwelche $r,R > 0$. Nach Bedingung der Aufgabenstellung muss für meine fertige Reihe gelten: $r = 0$ und $R = [mm] \infty$.
[/mm]
Wenn ich nun zunächst die Bedingung der Aufgabenstellung einsetze, folgere ich:
$f(z) = [mm] q*z*f(q^{2}*z)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k} [/mm] = [mm] q*z*\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*(q^{2}*z)^{k}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k+1}*a_{k}*z^{k+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k-1}*a_{k-1}*z^{k}$
[/mm]
Kann ich daraus folgern, dass [mm] $a_{k} [/mm] = [mm] q^{2k-1}*a_{k-1}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IZ$ [/mm] erfüllt sein muss ("Koeffizientenvergleich") ?
Dann könnte [mm] a_{0} [/mm] frei gewählt werden und durch diese Wahl ist die Laurentreihe dann eindeutig bestimmt (das wäre dann also die vorläufige Menge der Lösungen).
Nun muss ich aber noch untersuchen, ob die Laurentreihen auch für $r < |z| < R$ mit $r = 0$ und $R = [mm] \infty$ [/mm] konvergieren. Im Falle [mm] $a_{0} [/mm] = 0$ handelt es sich um die Nullfunktion, diese konvergiert überall. Ansonsten sind alle Glieder ungleich Null und ich kann auch das Quotientenkriterium anwenden:
$r = [mm] \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}\left|q\right|^{2k-1} [/mm] = 0$ wegen [mm] $q\in E\textbackslash\{0\}$.
[/mm]
$R = [mm] \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| [/mm] = [mm] \lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{\left|q\right|}\right)^{2k-1} [/mm] = [mm] \infty$.
[/mm]
Also sind diese Laurent-Reihen alle Lösungen?
Kann man das so schreiben?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 29.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> [mm]E\subset\IC[/mm] sei die offene Einheitskreisscheibe, [mm]q\in E\textbackslash\{0\}[/mm].
> Bestimme alle holomorphen Funktionen [mm]f:\IC\{0\}\to\IC[/mm] mit
> [mm]f(z) = q*z*f(q^{2}*z)[/mm] in Form ihrer Laurentreihen.
> Hallo!
>
> Ich habe mir erstmal eine beliebige Laurentreihe um den
> Entwicklungspunkt 0 vorgenommen:
>
> [mm]f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm].
>
> Diese konvergiert für [mm]r < |z| < R[/mm] für irgendwelche [mm]r,R > 0[/mm].
> Nach Bedingung der Aufgabenstellung muss für meine fertige
> Reihe gelten: [mm]r = 0[/mm] und [mm]R = \infty[/mm].
> Wenn ich nun zunächst
> die Bedingung der Aufgabenstellung einsetze, folgere ich:
>
> [mm]f(z) = q*z*f(q^{2}*z)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k} = q*z*\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*(q^{2}*z)^{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}*z^{k} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k+1}*a_{k}*z^{k+1} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}q^{2k-1}*a_{k-1}*z^{k}[/mm]
>
> Kann ich daraus folgern, dass [mm]a_{k} = q^{2k-1}*a_{k-1}[/mm] für
> alle [mm]k\in\IZ[/mm] erfüllt sein muss ("Koeffizientenvergleich")
> ?
>
> Dann könnte [mm]a_{0}[/mm] frei gewählt werden und durch diese
> Wahl ist die Laurentreihe dann eindeutig bestimmt (das
> wäre dann also die vorläufige Menge der Lösungen).
> Nun muss ich aber noch untersuchen, ob die Laurentreihen
> auch für [mm]r < |z| < R[/mm] mit [mm]r = 0[/mm] und [mm]R = \infty[/mm]
> konvergieren. Im Falle [mm]a_{0} = 0[/mm] handelt es sich um die
> Nullfunktion, diese konvergiert überall. Ansonsten sind
> alle Glieder ungleich Null und ich kann auch das
> Quotientenkriterium anwenden:
>
> [mm]r = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \lim_{k\to\infty}\left|q\right|^{2k-1} = 0[/mm]
> wegen [mm]q\in E\textbackslash\{0\}[/mm].
>
> [mm]R = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right| = \lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{\left|q\right|}\right)^{2k-1} = \infty[/mm].
>
> Also sind diese Laurent-Reihen alle Lösungen?
Sieht gut aus.
> Kann man das so schreiben?
Du kannst die Koeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] explizit durch $q$ und [mm] $a_0$ [/mm] ausdrücken: [mm] $a_k=q^{k^2}a_0$.
[/mm]
Hmm, wenn ich das richtig sehe, folgt daraus auch $f(1/z)=f(z)$. Interessant.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
> Du kannst die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] explizit durch [mm]q[/mm] und [mm]a_0[/mm]
> ausdrücken: [mm]a_k=q^{k^2}a_0[/mm].
Danke für den Hinweis!
> Hmm, wenn ich das richtig sehe, folgt daraus auch
> [mm]f(1/z)=f(z)[/mm]. Interessant.
Tatsächlich, sieht auf den ersten Blick so aus. Ich kann das jetzt leider nicht überprüfen, muss noch viele andere Aufgaben machen 
Grüße,
Stefan
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