Bedingung: Dedekinsch. Schnitt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass zwei Teilmengen L, R [mm] \subset \IR [/mm] genau dann ein Dedekindscher Schnitt sind, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(i) L [mm] \cup [/mm] R = [mm] \IR
[/mm]
(ii) sup L = inf R |
Hallo,
irgendwie weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, könnt ihr mir ein bisschen Starthilfe geben?
Vielen Dank für eure Antworten!
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Coprophage und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zeige, dass zwei Teilmengen L, R [mm]\subset \IR[/mm] genau dann ein
> Dedekindscher Schnitt sind, wenn die beiden folgenden
> Bedingungen erfüllt sind:
> (i) L [mm]\cup[/mm] R = [mm]\IR[/mm]
> (ii) sup L = inf R
Die Aussage stimmt so nicht ganz, wenn man die Definition eines Dedekindschen Schnittes von ![[]](/images/popup.gif) hier (klick) zugrunde legt.
Das lässt sich aber beheben, indem man folgende Bedingungen ergänzt:
(iii) [mm] $L,R\not=\emptyset$
[/mm]
(iv) [mm] $L\cap R=\emptyset$.
[/mm]
> irgendwie weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, könnt
> ihr mir ein bisschen Starthilfe geben?
Schreibe dir die Definition von "L,R Dedekindscher Schnitt" auf.
Dann sind zwei Richtungen zu zeigen.
Z.B. für die Hin-Richtung sind die Punkte (i),(ii),(iii),(iv) nacheinander zu zeigen unter der Annahme, dass L,R ein Dedekindscher Schnitt ist.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 15.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Zeige, dass zwei Teilmengen L, R [mm]\subset \IR[/mm] genau dann ein
> > Dedekindscher Schnitt sind, wenn die beiden folgenden
> > Bedingungen erfüllt sind:
> > (i) L [mm]\cup[/mm] R = [mm]\IR[/mm]
> > (ii) sup L = inf R
> Die Aussage stimmt so nicht ganz, wenn man die Definition
> eines Dedekindschen Schnittes von
> hier (klick)
> zugrunde legt.
Nicht ganz. Die Aussage
> (iii) [mm]L,R\not=\emptyset[/mm]
folgt bereits aus (i) und (ii) -- zumindest falls [mm] $\sup \emptyset$ [/mm] und [mm] $\inf \emptyset$ [/mm] nicht definiert sind. Andernfalls folgt es nicht aus (i) und (ii). Die Aussage
> (iv) [mm]L\cap R=\emptyset[/mm].
dagegen folgt nicht ganz, da die Mengen die (i) und (ii) erfuellen bis zu ein Element gemeinsam haben koennen.
Aber auch das Hinzufuegen von (iv) macht die Definition nicht korrekt, da es dann zu jeder reellen Zahl noch zwei Dedekindsche Schnitte geben wuerde. Man braucht noch etwas weiteres, etwa dass die Menge $L$ kein groesstes Element besitzt. Danach wird das ganze eindeutig.
Fuer diese Aufgabe ist es also nicht unwichtig zu wissen, wie genau Dedekindscher Schnitt in der Vorlesung definiert wurde, zu der diese Aufgabe gehoert. Und was das Infimum/Supremum der leeren Menge sein soll (oder eben auch nicht).
LG Felix
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