Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben: Wahrscheinlichkeitsraum $([0,1], [mm] \mathcal{B}([0,1]), \lambda)$ [/mm] und zwei Zufallsvariablen [mm] X(x)=2x^2, [/mm] $Y(x)=1-|2x - 1|$. Gesucht ist nun [mm] $\mathbb{E}(X|Y)$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe, eine bedingten Erwartungs zu von Zufallsvariablen zu berechnen (Aufgabe s.o.). Nun habe ich da so meine Problemchen damit, da ich mit dem bedingten Erwartungswert noch nie gerechnet habe.
Was ich bisher mal gefunden habe:
1. Wir haben bedingten Erwartungswert wie folgt definiert:
a) [mm] $\mathbb{E}(X|Y) [/mm] ist [mm] \sigma(Y) [/mm] messbar
b) für A [mm] \in \sigma(Y) [/mm] gilt [mm] $\integral_{A} \mathbb{E}(X|Y) d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{A} [/mm] X [mm] \, d\lambda$.
[/mm]
Y kann ich aufgrund der Aufgabe auch wie folgt schreiben:
$Y(x) = 2x$ für x [mm] \in \left[0, \frac{1}{2}\right]
[/mm]
$Y(x) = 2(1-x)$ für x [mm] \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]
[/mm]
Nun wollte ich als erstes [mm] \sigma(Y) [/mm] bestimmen. Dazu habe ich gefunden, dass [mm] Y^{-1}([a,b])=\left[\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right] \cup \left[1-\frac{b}{2}, 1-\frac{a}{2}\right], [/mm] d.h. jedes A [mm] \in \sigma(Y) [/mm] kann ich so schreiben.
Nun stellt sich für mich aber die Frage, kann ich das irgendwie verwenden ? Habe auch Formulierungen wie z.B.: [mm] \mathbb{E}(X|Y)=\frac{\mathbb{E}(1_{Y \in A}X)}{\lambda(A)} [/mm] im Netz gefunden. Kann mir bitte jemand weiterhelfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz,
ich möchte dich mit der Frage nicht im Regen stehen lassen, aber ehrlich gesagt ist meine Erinnerung an die Stochastik etwas blass.
Kannst du mir erklären, was $X(x)$ genau bedeutet. Also was ist $x$ und was gibt die Funktion $X(x)$ an. Ich vermute mal, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, aber mich wundert, dass dann z.B. $X(1)=2 > 1$ ist.
Deine "Definition" des bedingten Erwartungswerts sieht mir nicht wie eine Definition aus. Wie habt ihr denn den (nicht bedingten) Erwartungswert einer einzelnen Zufallsvariable definiert? Denn ich vermute, dass man daraus auch den Erwartungswert einer Bedingten Zufallsvariable herleiten kann, in dem man diesen Erwartungswert multipliziert mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß über alle Ereignisse der Zufallsvariablen integriert.
Also mein Tipp: Nochmal genau ins Skript schauen und die Definitionen nachlesen.
Viele Grüße
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 So 14.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Also ich werde die Angabe nochmals präzisieren ;) :
Sei $([0,1], [mm] \mathcal{B}([0,1]), \mathbb{P})$ [/mm] der Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] $\mathcal{B}([0,1])$ [/mm] die Borel [mm] \sigma [/mm] Algebra und [mm] \mathbb{P} [/mm] das Lebesgue Maß. Finde die bedingte Erwartung [mm] $\mathbb{E}(X|Y)$ [/mm] von $X$ und $Y$ gegeben duch [mm] $X(x)=2x^2$ [/mm] und $Y(x)=1-|2x-1|$.
Dies ist die konkrete Aufgabenstellung. Definiert haben wir den bedingten Erwartungswert einer Menge zuerst wie folgt:
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für eine integrierbare ZV $X$, einer Menge $B [mm] \in \mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $\mathbb{P}(B) \neq [/mm] 0$ definieren wir [mm] $\mathbb{E}(X|B)$ [/mm] durch
[mm] $\mathbb{E}(X|B)=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\integral_{B}X(\omega)\,d\mathbb{P}(\omega)$
[/mm]
Diese Definition ist mir noch vollkommen klar. Dann habe wir die bedingte Erwartung bei diskreten ZV definiert:
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für eine integrierbare ZV $X$ und $Y$ einer diskreten ZV mit Werten [mm] $y_1, y_2, [/mm] ...$ sodass [mm] $\mathbb{P}(Y [/mm] = [mm] y_n) \neq [/mm] 0$ für alle n definieren wir [mm] $\mathbb{E}(X|Y)$ [/mm] als die Zufallsvariable
[mm] $\mathbb{E}(X|Y)(\omega)=\mathbb{E}(X| \{Y = y_n \})$, [/mm] wenn [mm] $Y(\omega) [/mm] = [mm] y_n$ [/mm] für alle n=1,2,...
Da haben wir ein gutes Beispiel drinnen, versteh ich als auch noch problemlos. Nun kommt aber eben der Fall, wo $Y$ nicht mehr diskret ist, und den check ich eben nicht. Da haben wir folgende Definition gehabt:
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für eine integrierbare ZV $X$ und einer Zufallsvariablen $Y$ definieren wir [mm] $\mathbb{E}(X|Y)$ [/mm] als die Zufallsvariable für die gilt:
1. [mm] $\mathbb{E}(X|Y)(\omega)$ [/mm] ist [mm] $\sigma(Y)$ [/mm] messbar
2. Für $A [mm] \in \sigma(Y)$ [/mm] gilt: [mm] $\integral_{A}\mathbb{E}(X|Y)(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega) [/mm] = [mm] \integral_{A}X(\omega) \, d\mathbb{P}(\omega) [/mm] $
Irgenwie kann ich diese Definition nicht auf mein Beispiel anwenden. Wie bereits oben geschrieben, das einzige was ich finde, ist, dass die Urbild eines Intervalls eben aus dieser Vereinigung von zwei Mengen besteht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Danke für die Präzisierung. Ich denke ich sehe etwas klarer, bin aber jetzt leider bis heute Abend weg. Werde mich gegen 19.00 Uhr nochmal dransetzen.
Gruß
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 14.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Okay, danke!
Beste Grüße endlezzz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz,
ich denke mit den Definitionen unter
http://www.mathematik.hu-berlin.de/~riedle/winter06/stoch9.pdf
kann man etwas besser arbeiten, denn dort steht, wie man mit Hilfe der Integration den bedingten Erwartungswert berechnen kann. Vielleicht hast du aber auch noch hilfreichere Definitionen in deinen Skripten.
Gruß
pits
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Also ich würde diesen Erwartungswert mit der ersten deiner Definitionen berechnen, also mit:
[mm] $E(X|B)=\frac{1}{\IP(B)} \int_B X(\omega)d\IP(\omega)$
[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm] $E(X|Y)=\int_Y X(\omega)d\IP(\omega)$
[/mm]
[mm] $d\IP(\omega)$ [/mm] müsste sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung $Y(x)$ ergeben. Dann würde
man das Integral von 0 bis 1 über [mm] $\omega$ [/mm] bilden und [mm] $d\IP(\omega)$ [/mm] irgendwie durch [mm] $Y(\omega)$ [/mm] ersetzen.
Mein Hauptproblem besteht jetzt darin, dass ich immer noch nicht ganz mit der Bedeutung von $X(x)$ und $Y(x)$ klar komme. Was ist $x$ und was ist dann $X$ ?
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 14.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielleicht hilft dir das weiter: Wir haben in der VO ein "ähnliches Beispiel" gemacht. Das war wie folgt:
Gegeben war $([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \mathbb{P})$, wobei \mathbb{P} das Lebesguemaß ist und zwei Zufallsvariablen:
$X(x)=2x^2$ und
$Y(x)$ gegeben durch
$Y(x) = 2$ für $x \in [0,\frac{1}{2}]$
$Y(x) = x$ für $x \in [\frac{1}{2},1]$
gesucht ist auch hier gewesen $\mathbb{E}(X|Y)$. Da sind wir wie folgt vorgegangen.
Zuerst wurde $\sigma(Y)$ bestimmt und zwar durch:
Für $B \subset [\frac{1}{2}, 1]$ Borel Menge gilt $B = \{ Y \in B \} \in \sigma(Y)$ und $[0,\frac{1}{2}) \cup B = \{Y \in B \} \cup \{ Y = 2 \} \in \sigma(Y)$.
Daher ist jedes element aus $\sigma(Y)$ von der Form $B$ oder $B \cup [0,\frac{1}{2}]$.
Daher gilt für $x \in [0,\frac{1}{2}]$: $\mathbb{E}(X|Y)(x) = \mathbb{E}(X|Y) = \frac{1}{\mathbb{P}([0,\frac{1}{2}]) }\integral_{[0,\frac{1}{2}]}}X(x) \,d\mathbb{P}(x) = \frac{1}{6}$.
Und wenn $\mathbb{E}(X|Y) = X$ gesetzt wir auf $[\frac{1}{2},1]$, dann gilt die Gleichheit nach Definition automatisch und damit:
$\mathbb{E}(X|Y)(x) = \frac{1}{6}$ für $x \in [0,\frac{1}{2}]$
$\mathbb{E}(X|Y)(x) = x$ für $x \in [\frac{1}{2},1]$.
Hoffe das hilft dir weiter ;)
LG endlezzz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz,
ich bin jetzt dein Beispiel mehrfach durchgegangen und habe auch in Wikipedia ein wenig gelesen, aber so ganz kriege ich es nicht zusammen.
Ich denke man kann dieses Beispiel gut nehmen und das auf die andere Aufgabe übertragen. Aber mir ist das Beispiel schon nicht ganz klar.
> Gegeben war [mm]([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \mathbb{P})[/mm], wobei
> [mm]\mathbb{P}[/mm] das Lebesguemaß ist und zwei Zufallsvariablen:
>
> [mm]X(x)=2x^2[/mm] und
>
> [mm]Y(x)[/mm] gegeben durch
> [mm]Y(x) = 2[/mm] für [mm]x \in [0,\frac{1}{2}][/mm]
> [mm]Y(x) = x[/mm] für [mm]x \in [\frac{1}{2},1][/mm]
Das sieht ja schon mal sehr ähnlich zu der Aufgabe aus.
> Zuerst wurde [mm]\sigma(Y)[/mm] bestimmt und zwar durch:
OK - Mir ist ehrlicherweise schon nicht ganz klar, was [mm] $\sigma(Y)$ [/mm] ist.
> Für [mm]B \subset [\frac{1}{2}, 1][/mm] Borel Menge gilt [mm]B = \{ Y \in B \} \in \sigma(Y)[/mm]
Hier sind zwei Mengen $B$. Einmal das B als Menge aus der die x gewählt werden und dann die zweite Menge die Elemente aus Y enthält?
> und [mm][0,\frac{1}{2}) \cup B = \{Y \in B \} \cup \{ Y = 2 \} \in \sigma(Y)[/mm].
>
> Daher ist jedes element aus [mm]\sigma(Y)[/mm] von der Form [mm]B[/mm] oder [mm]B \cup [0,\frac{1}{2}][/mm].
Das kann ich mir so grob vorstellen, wenn ich mir denke, dass wenn die 2 in der (welcher) Menge drin ist (Ergebnisse der Zufallsvariablen?), kommt der ganze entsprechende Teil also [mm] $[0,\frac12]$ [/mm] mit in die Urbildmenge.
vielleicht kannst du diesen Teil erstmal erläutern
Gruß pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mo 15.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Hi pits,
also mit [mm] $\sigma(Y)$ [/mm] ist die Sigma Algebra gemeint, welche von $Y$ erzeugt wird, also im speziellen (sofern ich das noch richtig im Kopf habe  ):
Für $Y$ Zufallsvariable über [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ [/mm] wird [mm] $\sigma(Y)$ [/mm] definiert durch
[mm] $\sigma(Y) [/mm] := [mm] \sigma(Y^{-1}(A) [/mm] : 1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n, [mm] \, [/mm] A [mm] \in \mathcal{F})$
[/mm]
(siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Sigma-Algebra#.CF.83-Operator, [mm] \sigma [/mm] ist der Sigma Algebra Operator)
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Lösung dieser Aufgabe irgendwo dort begraben liegt, kann sie leider nur derzeit nicht sehen.
Ich war ja eben bereits an der Stelle, dass ich die Urbilder meiner Zufallsvariable $Y$ bestimmt habe, und habe dafür ja erhalten
[mm] $Y^{-1}([a,b]) [/mm] = [mm] \left[ \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right] \cup \left[ 1 - \frac{b}{2}, 1 - \frac{a}{2} \right]$
[/mm]
Hoffe das hilft wieder einen Schritt vorwärts 
Beste Grüße
endlezzz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz
> Für [mm]Y[/mm] Zufallsvariable über [mm](\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})[/mm]
> wird [mm]\sigma(Y)[/mm] definiert durch
>
> [mm]\sigma(Y) := \sigma(Y^{-1}(A) : 1 \leq i \leq n, \, A \in \mathcal{F})[/mm]
Da blicke ich jetzt gar nicht durch. Also erstens verwirrt mich, dass [mm] $\sigma$ [/mm] durch [mm] $\sigma$ [/mm] definiert wird. Das kann ich mir nur so vorstllen, dass das [mm] $\sigma$ [/mm] einer Zufallsvariable durch das [mm] $\sigma$ [/mm] einer Menge definiert wird - ok soweit klar. Jetzt werden Urbilder von Teilmengen der Potenzmenge gebildet. In unserem Beispiel ist [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{B}[0,1]$, [/mm] dann kann $A$ aber nicht 2 enthalten?
Was bedeutet die Variable $i$. Ich vermute es geht auch hier um einen Schnitt von Mengen.
> Ich war ja eben bereits an der Stelle, dass ich die
> Urbilder meiner Zufallsvariable [mm]Y[/mm] bestimmt habe, und habe
> dafür ja erhalten
>
> [mm]Y^{-1}([a,b]) = \left[ \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right] \cup \left[ 1 - \frac{b}{2}, 1 - \frac{a}{2} \right][/mm]
Ok, das ist für die Aufgabe. Da nehmen liegen die Bilder von Y auch im Bereich zwischen 0 und 1. Das Urbild klingt plausibel.
Ich habe so langsam trotzdem das Gefühl, dass wir Hilfe brauchen
Gruß
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz,
ich glaube, ich komme ohne ein intensives Wiederholungsstudium der Vorlesung Stochastik nicht dahinter - sorry. Gut, dass du die Frage schonmal auf teilweise beantwortet gestellt hast, vielleicht findet sich noch jemand, der weiterhelfen kann.
Hast du verstanden, warum bei dem Beispiel die beiden Fälle getrennt betrachtet werden konnten?
Also wenn du den Druchblick hast, würde ich mich über eine kurze Info freuen. Ich gebe jetzt auf - habe auch kein Buch zur Stochastik mehr zur Hand.
Ich hoffe, du kommst noch dahinter
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mo 15.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Ja ich werde es posten wenn ich dahintergekommen bin
warum ich die oberen Fälle separat betrachten kann ist mir irgendwie schon klar, da ich, wenn $Y(x) = 2$, dann ist $x [mm] \in \left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ [/mm] und ich kann die Definition von der diskreten bedingten Wahrscheinlichkeit verwenden.
Den Fall der stetigen Zufallsvariable hab ich nur nicht so richtig durchschaut.
Aber trotzdem vielen Dank für deine Mühe!
Liebe Grüße endlezzz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mo 15.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo endlezz,
vielleicht ein sehr anschaulicher Versuch und nicht unbedingt fundiert, aber zumindest eine Idee:
Es gilt: [mm] $Y(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \leq \frac12 \\ 2-2x, & \mbox{für } x > \frac12 \end{cases}$
[/mm]
Also ist das Urbild: [mm] $Y^-1(Y(x))=\{x,1-x\}$ [/mm] - Ich habe mir das eher an der Zeichnung klar gemacht, als an der Rechnung. Soll heißen wenn Y das zu x gehörige Ergebnis annimmt, kann das auch bei 1-x passiert sein.
Mit [mm] $X(x)=2x^2$ [/mm] und [mm] $X(1-x)=2\cdot (1-x)^2$ [/mm] sind das die beiden Ereignisse, die X annehmen kann, wenn die Zufallsvariable Y das zu x gehörige Ereignis angenommen hat. Also ist der Erwartungswert $E(X|Y)(x)$ der Mittelwert aus diesen beiden Ereignissen:
[mm] $E(X|Y)(x)=\frac{2x^2+2(1-x)^2}{2}$
[/mm]
Das habe ich mir jetzt alles über meine Vorstellung der Bedeutung von Erwartungswert überlegt und nicht sonderlich über mathematische Definitionen, die ich leider nicht zur Hand habe. Vielleicht hilft's.
Gruß
ptis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mo 15.10.2012 | | Autor: | endlezzz |
Das klingt eigentlich voll plausibel, ja, klingt gut werde es heut am abend mal überprüfen und geb dir dann Bescheid.
Vielen Dank!
Beste Grüße
endlezzz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 16.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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