Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 26.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also ich hab grad irgendwie nen Brett vorm Kopf. >.<
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Assistentin kennt die Arbeitsgruppe der Studentinnen Anette, Berta und Cornelia schon seit
längerem und weiß, dass Anette 80%, Berta 15% und Cornelia nur 5% der Aufgaben bearbeitet und sie es so
einteilen, dass keine Aufgabe doppelt bearbeitet wird. Auf Grund ihrer unterschiedlichen Erfahrung können
sie eine Aufgabe mit 90%, 50% und 15% Wahrscheinlichkeit richtig lösen.
(i) Die Assistentin hat von der Arbeitsgruppe eine fehlerhafte Lösung bekommen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit stammt sie von Anette, Berta beziehungsweise Cornelia?
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Lösung richtig?
Wie kann ich hier mein Omega erstellen? Das was ich mir gedacht hab mit Tupeln (A,R),(B,R), (C,R) usw. geht irgendwie nicht :-(
Danke schonmal,
Gruß Micha 
|
|
| |
|
Lieber Micha!
> Die Assistentin kennt die Arbeitsgruppe der Studentinnen
> Anette, Berta und Cornelia schon seit
> längerem und weiß, dass Anette 80%, Berta 15% und Cornelia
> nur 5% der Aufgaben bearbeitet und sie es so
> einteilen, dass keine Aufgabe doppelt bearbeitet wird. Auf
> Grund ihrer unterschiedlichen Erfahrung können
> sie eine Aufgabe mit 90%, 50% und 15% Wahrscheinlichkeit
> richtig lösen.
>
> (i) Die Assistentin hat von der Arbeitsgruppe eine
> fehlerhafte Lösung bekommen. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit stammt sie von Anette, Berta
> beziehungsweise Cornelia?
> (ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Lösung
> richtig?
>
> Wie kann ich hier mein Omega erstellen? Das was ich mir
> gedacht hab mit Tupeln (A,R),(B,R), (C,R) usw. geht
> irgendwie nicht :-(
Ich glaube, hier arbeitest Du am besten mit einem Wahrscheinlichkeitsbaum. Die erste Stufe ist für das Ereignis, welches Mädel die Aufgabe bearbeitet hat, also 3 Möglichkeiten (A, B, C) mit den o.a. Wahrscheinlichkeiten P(A)=0.8, P(B)=0.15 und P(C)=0.05. Die zweite Stufe ist nun für das Ereignis, ob die Aufgabe richtig oder falsch bearbeitet wurde. Die Wahrscheinlichkeiten, die in der vorletzten Zeile der Aufgabe angegeben werden, sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(R|A), P(R|B) und P(R|C). Gesucht sind ja die bedingten Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(A|R^c)$, $P(B|R^c)$ [/mm] und [mm] $P(C|R^c)$. [/mm] Die Formel von Bayes sagt nun
[mm] $P(A|R^c)=\frac{P(R^c|A)\cdot P(A)}{P(R^c)},$
[/mm]
d.h. wenn Du [mm] P(R^c) [/mm] ausgerechnet hast, kannst Du Teil (i) bequem lösen, denn [mm] $P(R^c|A)=1-P(R|A)$. [/mm] Für [mm] $P(R^c)$ [/mm] bedienst Du Dich am besten der Regel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P(R^c)=P(R^c|A)\cdot P(A)+P(R^c|B)\cdot P(B)+P(R^c|C)\cdot [/mm] P(C)$.
Die kannst Du am Baum schön nachvollziehen, indem Du Dir alle Äste suchst, die mit dem Ereignis [mm] $R^c$ [/mm] enden. Du multiplizierst dann die Wahrscheinlichkeiten entlang der einzelnen Äste und summierst anschließend die Ergebnisse aller Äste auf. Zur Kontrolle: ich komme auf [mm] $P(R^c)=0.1975$ [/mm] und damit [mm] $P(A|R^c)\approx [/mm] 0.4051$.
$P(R)$ ist nun natürlich nicht mehr schwer, nachdem wir ja schon [mm] $P(R^c)$ [/mm] bestimmt haben
Was den Ergebnisraum angeht, muss man ein wenig umdenken. Dein Ansatz mit den Tupeln ist völlig richtig. Du kannst z.B. so modellieren:
[mm] $\Omega=\{(A,R),(B,R),(C,R),(A,F),(B,F),(C,F)\}.$
[/mm]
Der Zusammenhang mit den Ereignissen oben ist dann, dass z.B. die Menge mit dem Tupel $(A,R)$ dem Ereignis [mm] $A\cap [/mm] R$ entspricht. Ferner ist dann [mm] $A=\{(A,R),(A,F)\}$ [/mm] usw. Das Problem ist nur, dass die einzelnen Ergebnisse in [mm] $\Omega$ [/mm] nicht alle gleichwahrscheinlich ist und Du deshalb nicht so schön damit rechnen kannst. Du kannst aber für jedes Elementarereignis [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit angeben, z.B.
[mm] $P(\{(A,R)\})=P(A\cap R)=0.8\cdot [/mm] 0.9=0.72$
Damit kommst Du natürlich auf dasselbe Ergebnis wie wenn Du gleich mit Ereignissen modellierst. Ich finde den Zugang über den Wahrscheinlichkeitsbaum mit Ereignissen hier intuitiver, aber das mag Geschmackssache sein.
Ich hoffe, ich habe Dich mit den beiden Zugängen nicht unnötig verwirrt. Falls doch, frag einfach nach 
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
|
