Bedeutung von Dichte und Cov < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe Gemeinde,
nachdem ich nun alle wichtigen Punkte meiner Klausurvorbereitung abgehackt habe, habe ich noch ein par kleine Fragen, in welchen es um "Interpretationen" geht :
- Ich habe in einigen Aufgabenblättern eine "Bedingte Dichte" ausrechnen müssen. Dies hab ich auch geschafft (zugegeben - ihr habt einen wesentlichen Teil dazu beigetragen).
Hierfür habe ich einfach die von X und Y abhängige funktion durch die einzelnen Randdichten dividiert. (Bedingte Dicht := [mm] f_{X I Y = y} [/mm] oder [mm] f_{X = x I Y}
[/mm]
Meine Frage lautet nun : Wie kann man sowas aus Sicht eines Stochastikers interpretieren ? Besser gesagt : Was habe ich da überhaupt berechnet ?
- ich habe in einer anderen Aufgabenstellung ebenfalls einen XY Zufallsvektor und muss da E(X) , E(Y) , VarX, VarY , Cov (X,Y) und Rho(X,Y) ausrechnen.
Könnt Ihr mir bitte erklären, wie ich bei einer 2 dimensionalen Funktion ihren Erwartungeswert und den Streufaktor berechne ? Mein Ansatz bestünde darin, einfach die Randdichte mit x zu multiplizieren und nach dy zu integrieren - da hätte ich jedoch das x als Konstante drin?
Und noch etwas : Was bedeuten Rho(X,Y) und Cov(X,Y) ?
Diese Sachen stehen nicht in unserem Script drin :-(
Bitte Bitte helft mir - es wäre doch schade, genau dann aufzugeben, wo es doch wirklich interessant wird 
Liebe Gruesse,
Euer KGB-Spion (Denis)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Mi 01.10.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Denis,
die bedingte Verteilung (und mit ihr die bedingte Dichte) wird benutzt,
um Vorinformationen in einem Wahrscheinlichkeistmodell zu
beruecksichtigen.
M.E. einfacher zu verstehen ist das Konzept im Zusammenhang mit
diskreten Verteilungen. Betrachte das Werfen zweier fairer Wuerfel.
Es bezeichne $X$ das Minimum der geworfenen Zahlen und $Y$ sei das
Maximum. Offenbar gilt $P(Y=2)=2/36$, jedoch ist [mm] P(Y=2\mid [/mm] X=1)=0$.
D.h. die *bedingte* Verteilung von Y gegeben $(X=1)$ ist eine andere
als die unbedingte Verteilung von $Y$.
Den Erwartungswert kannst du mit der Randdichte von X berechnen, also
[mm] $\operatorname{E}[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx$
[/mm]
oder mit der gemeinsamen Dichte, denn
[mm] $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y) \,dy$,
[/mm]
so dass
[mm] $\operatorname{E}[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}x\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y) \,dy\,dx$.
[/mm]
Die Kovarianz ist ein Mass dafuer, wie sich $Y$ i.A. "verhaelt", wenn
$X$ steigt. Gehen grosse bzw. kleine y-Werte i.a. einher mit grossen
x-Werten, so ist [mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]>0$ [/mm] bzw. [mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]<0$. [/mm] Ein Wert
[mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]\approx0$ [/mm] deutet darauf hin, dass kaum ein Zusammenhang besteht.
Sind X und Y unabhaengig, so gilt sogar [mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]=0$.
[/mm]
Leider kann man einen Wert [mm] $\operatorname{Cov}[X,Y]=-4711$ [/mm] schlecht
interpretieren. Deswegen ist man an einer Normierung interessiert, wie
es sie der Korrelationskoeffizient [mm] $\rho[X,Y]$ [/mm] bietet, denn es gilt
[mm] $-1\le\rho[X,Y]\le+1$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:55 Do 02.10.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Hallo Louis52,
ich war heute den ganzen Tag über in der Uni (mit Kumpels) und wir haben alles noch einmal sauber wiederholt - falls ich was vergesse.
Ich muss mich für deine Ausfürliche Erklärung bedanken. Ich habe nun verstanden, was man unter dieser bedingten Dichte meint - schade, dass es nicht in unserem Script von Anfang an stand - dass hätte Dir und mir die Mühe erspart.
Ich werde mir jetzt die ganze Nacht über diese Theorien einprägen - falls ich Fragen habe, darf ich die doch sicherlich auch posten oder ?
Vielen lieben Dank und Beste Gruesse,
Denis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Do 02.10.2008 | | Autor: | luis52 |
> falls ich Fragen habe, darf ich die doch
> sicherlich auch posten oder ?
>
Nur zu.
vg Luis (nicht Louis!)
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