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Forum "Integralrechnung" - Bedeutung des dx
Bedeutung des dx < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bedeutung des dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Di 17.10.2006
Autor: Docy

Hallo alle zusammen,
ich habe ein Verständnisproblem und hoffe, mir kann jemand dabei helfen. Und zwar haben wir in der Schule gesagt, dass das

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]

die Summe der einzelnen Funktionswerte im Intervall (a, b) ist.
Das verstehe ich nicht so ganz, weil das ja bedeuten müsste, dass das dx gleich 1 ist????

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Gruß
Docy
        
Bezug
Bedeutung des dx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Di 17.10.2006
Autor: ullim

Hi Docy,


das Integral ist definiert als die Summe eines Funktionswerts im Intervall [mm] (x_i,x_{i+1}) [/mm]
multipliziert mit der Intervallänge [mm] \Delta{x}. [/mm] Im Grenzwertfall wird [mm] \Delta{x} [/mm] im kleiner und zu dx, dafür wird in der Summe über immer mehr Summanden summiert.

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Bedeutung des dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 So 22.10.2006
Autor: Docy

Hallo ullim,
müsste das denn nicht bedeuten, dass wenn man immer mehr Summanden hat, dass das [mm] \Delta [/mm] x gegen null geht? Und wenn man dann das [mm] \Delta [/mm] x vorklammert: [mm] \Delta x*(f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+....f(x_{n})), [/mm]
dann multipliziert man doch die Summe der Funktionswerte mit null???
Das ist dann doch null....


Gruß
Docy
Bezug
                        
Bezug
Bedeutung des dx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 So 22.10.2006
Autor: ardik

Hallo Docy,

>  müsste das denn nicht bedeuten, dass wenn man immer mehr
> Summanden hat, dass das [mm]\Delta[/mm] x gegen null geht?

Jaa! [huepf]

Und dieses sog. infinitesimal kleine [mm] $\Delta [/mm] x$ nennt man dann $dx$.

> man dann das [mm]\Delta[/mm] x vorklammert: [mm]\Delta x*(f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+....f(x_{n})),[/mm]
>  
> dann multipliziert man doch die Summe der Funktionswerte
> mit null???

Nein!
Eher mit "fast null".
Und der Inhalt der Klammer wächst gleichzeitig ins Unendliche. Also müsste doch das ganze Produkt unendlich groß werden... ;-)
Je mehr das [mm] $\Delta [/mm] x$ gegen null geht (ohne sie je wirklich zu erreichen!), umso mehr geht die Klammer gegen unendlich. Bei den meisten Schulintegralen hält sich das irgendwie die Waage, so dass man zu einem "normalen" reelen Ergebnis gelangt. Aber allgemein kann man in so einer Situation nicht automatisch vorhersagen, wer von beiden "gewinnt".

Ein prägnantes Beispiel:

Es gehe [mm] $n\rightarrow\infty$. [/mm]

Dann wäre [mm] $\bruch{3}{n}*n$ [/mm] sowas wie (ich mag's kaum schreiben): [mm] $0*\infty$ [/mm] Aber natürlich ist es ja 3.
Zwei weitere Beispiele für [mm] "$0*\infty$": [/mm]
[mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\bruch{3}{n^2}*n\right)}$ [/mm] ist tatsächlich null, aber
[mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\bruch{3}{n}*n^2\right)}$ [/mm] ist natürlich unendlich.

Schöne Grüße,
ardik

Bezug
        
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Bedeutung des dx: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Mi 18.10.2006
Autor: informix

Hallo Docy,
> Hallo alle zusammen,
>  ich habe ein Verständnisproblem und hoffe, mir kann jemand
> dabei helfen. Und zwar haben wir in der Schule gesagt, dass
> das
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>  
> die Summe der einzelnen Funktionswerte im Intervall (a, b)
> ist.
> Das verstehe ich nicht so ganz, weil das ja bedeuten
> müsste, dass das dx gleich 1 ist????
>  
> Kann mir da jemand weiterhelfen?

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Gruß informix

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