Bearbeitung einer 3x5 Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Looke |
| Aufgabe | a) Weisen sie mit Hilfe des Rangbegriffes nach, dass das Gleichungssystem Ax=b mit einer (3x5)-Matrix A und b [mm] \in \IR [/mm] ³ der Form
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & 8 & 7 \\ -1 & 0 & -1 & -2 & -4 }
[/mm]
b= [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1 }
[/mm]
lösbar ist.
b) Bestimmen Sie dim N(A) für das Gleichungssystem in (a).
c)Bestimmen Sie den Kern N(A) für das Gleichungssystem
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
Führen Sie zunächst den vollen Gauß-Algorithmus aus, benutzen sie nicht die gegebene verkürzte Form.
d) Geben Sie eine inhomogene Lösung des Gleichungssystems aus (c) an.
e) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystem aus (c) an. Ist der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ein Element der Lösungsmenge?
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösungen sehen nun wie folgt aus:
(a) Ich führe den Gauß Algorithmus asu und komme auf folgende Form:
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 } [/mm]
Jetzt sehe ich das die Matrix den Rang 3 hat und da sie 5 Dimensionen hat kam ich zu folgendem Schluss: " A ist Unterbestimmt und ist deswegen lösbar, wobei [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] frei wählbar sind.
Frage: Reicht das aus ?
(b) Für die dim N(A) kann ich folgende Formel benutzen dim N(A)=N-r. Also dimN(A) = 5- 3 =2. Also ist 2 die Lösung.
(c) Ich bin mir bei der Definition des begriffs Kern nicht so sicher... ich meine man muss hier die Matrix homogen betrachten und dann nach [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] auflösen und vektoren bilden.
Ich möchte jetzt hier nicht den vollen algorithmus aufstellen....kam aber auf die Angegebene Form von c).
So nun habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:
[mm] x_{3} [/mm] = - [mm] x_{5}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{4} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] + 3 [mm] x_{4} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] = -4 [mm] x_{4} [/mm] -3 [mm] x_{5}
[/mm]
So hier raus bilde ich dann folgenden Gleichung:
s [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] +t [mm] \vektor{-3 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich hoffe es ist so richtig, habe da aber echt keine Ahnung :-( .
(d) Aus meinem Gauß-Algorithmus entnehme ich nun folgende Gleichung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{-3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{-1 \\ -4 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Nun setze ich einfach [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] = 1 ein und erhalte [mm] \vektor{-5 \\ -3 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] .
e) Hier weiß ich gar nicht weiter habe nur mal den vektor eingestzt in die Ebenen Gleichung und gesehen das er nicht hier hinein passt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zu den anderen Aufgaben würde ich auch etwas schreiben,
> aber ich weiß beim besten Willen nicht, was mit
> [mm]\math{\red{N(A)}}[/mm] gemeint ist? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hallo,
das ist der Nullraum von A, also der Kern.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 19.02.2009 | | Autor: | Looke |
> zu Aufgabenteil a)
>
> [mm]A\cdot{x}=b[/mm] ist lösbar, wenn [mm]\math{Rang(A)=Rang(A|b)}.[/mm] Das
> heißt, [mm]A\cdot{x}=b[/mm] ist lösbar, wenn der Rang der Matrix
> [mm]\math{A}[/mm] gleich dem Rang der erweiterten Matrix [mm]\math{A|b}[/mm]
> ist.
Die Frage die sich mir nur stellt ist der Rang nicht immer der selbe für [mm] \vec{b} [/mm] und für [mm] \vec{0} [/mm] ? Also ich kann mich an keine Aufgabe errinnern wo das anders ist.
Und die andere Frage ist ob die Begründung von mir nicht reichen würde? Ich weiß es nicht genau da ich jetzt erst meine erste Klausur darüber schreibe und leider auch nicht abschätzen kann was erwartet wird.
Zu N(A) kann ich bestätigen, das es der Kern von A ist.
Looke
|
|
|
| |
|
> > zu Aufgabenteil a)
> >
> > [mm]A\cdot{x}=b[/mm] ist lösbar, wenn [mm]\math{Rang(A)=Rang(A|b)}.[/mm] Das
> > heißt, [mm]A\cdot{x}=b[/mm] ist lösbar, wenn der Rang der Matrix
> > [mm]\math{A}[/mm] gleich dem Rang der erweiterten Matrix [mm]\math{A|b}[/mm]
> > ist.
>
> Die Frage die sich mir nur stellt ist der Rang nicht immer
> der selbe für [mm]\vec{b}[/mm] und für [mm]\vec{0}[/mm] ? Also ich kann mich
> an keine Aufgabe errinnern wo das anders ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schau Dir diese erweiterte Koeffizientenmatrix an:
[mm] \pmat{1&2&3&&|4\\0&5&6&&|7\\0&0&0&&|8}.
[/mm]
Dieses System ist nicht zu lösen, denn [mm] 0*x_1+0*x_2+0*x_3=8 [/mm] ist durch nichts zu einer wahren Aussag zu machen.
Als Begründung würde ich schreiben, daß der Rang der Koeffizientenmatrix = dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, woraus Lösbarkeit folgt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> a) Weisen sie mit Hilfe des Rangbegriffes nach, dass das
> Gleichungssystem Ax=b mit einer (3x5)-Matrix A und b [mm]\in \IR[/mm]
> ³ der Form
> A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & 8 & 7 \\ -1 & 0 & -1 & -2 & -4 }[/mm]
>
> b= [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1 }[/mm]
> lösbar ist.
>
> b) Bestimmen Sie dim N(A) für das Gleichungssystem in (a).
> c)Bestimmen Sie den Kern N(A) für das Gleichungssystem
> A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 }[/mm]
>
> Führen Sie zunächst den vollen Gauß-Algorithmus aus,
> benutzen sie nicht die gegebene verkürzte Form.
> d) Geben Sie eine inhomogene Lösung des Gleichungssystems
> aus (c) an.
> e) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystem aus (c)
> an. Ist der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> ein Element der Lösungsmenge?
> (b) Für die dim N(A) kann ich folgende Formel benutzen dim
> N(A)=N-r. Also dimN(A) = 5- 3 =2. Also ist 2 die Lösung.
Hallo,
ja. Der Nullraum (=Kern der Matrix A) hat die Dimension 2.
> (c) Ich bin mir bei der Definition des begriffs Kern nicht
> so sicher... ich meine man muss hier die Matrix homogen
> betrachten und dann nach [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{5}[/mm] auflösen und
> vektoren bilden.
> Ich möchte jetzt hier nicht den vollen algorithmus
> aufstellen....kam aber auf die Angegebene Form von c).
Hm. Ich meine, daß mit "voller Algorithmus" gemeint ist, daß die Matrix nicht nur auf ZSF gebracht werden soll, sondern in die Form, daß die führenden Zeilenelemente alle =1 sind, und daß über ihnen nur Nullen stehen. Aber das findest Du durch einen Blick in die Mitschrift gewiß heraus.
> So nun habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:
> [mm]x_{3}[/mm] = - [mm]x_{5}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{4}[/mm] - [mm]x_{5}[/mm] - [mm]x_{5}[/mm] + 3 [mm]x_{4}[/mm] - [mm]x_{5}[/mm] = -4 [mm]x_{4}[/mm]
> -3 [mm]x_{5}[/mm]
>
> So hier raus bilde ich dann folgenden Gleichung:
> s [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] +t [mm]\vektor{-3 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Du hast es im Prinzip richtig gemacht, allerdings scheinst Du Dich bei [mm] x_2 [/mm] vertan zu haben, was sich auch auf [mm] x_1 [/mm] auswirkt. Rechne sicherheitshalber nach.
>
> Ich hoffe es ist so richtig, habe da aber echt keine Ahnung
> :-( .
>
> (d) Aus meinem Gauß-Algorithmus entnehme ich nun folgende
> Gleichung:
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{-3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\beta \vektor{-1 \\ -4 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Die Lösungsmenge des inhomogenen Systems besteht ja aus einer speziellen Lösung + dem Kern.
Dies scheinst Du auch zu wissen. Allerdings löst Dein Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] das System nicht.
Der Grund: wie erwähnt, hast Du nicht den vollen Algorithmus durchgeführt. Man kann die spezielle Lösung nur nach Durchführung des vollen Algorithmus so ablesen, wie Du es getan hast. (Falls oben Dein Kern verkehrt ist, ist er es natürlich auch hier, aber das Prinzip "Kern addieren" stimmt.)
> Nun setze ich
> einfach [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] = 1 ein und erhalte [mm]\vektor{-5 \\ -3 \\ -1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Vorausgesetzt, alles andere ist richtig, dann Geht das so.
Du kannst allerdings auch einfach den ersten Vektor angeben, also für [mm] \alpha=\beta=0.
[/mm]
> .
> e) Hier weiß ich gar nicht weiter
Achso! Du sollst in Aufgabe (d) die aus der Matrix abgelesene spezielle Lösung angeben, und hier, in Aufg. (d),
das mit "spezielle Lösung +Kern".
> habe nur mal den vektor
> eingestzt in die Ebenen Gleichung und gesehen das er nicht
> hier hinein passt.
Wäre er in der Lösungsmenge, dann wäre er eine Lösung der Gleichung. Es wäre also von
A= $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1}*\vektor{1\\1\\1\\1\\1}= \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 } [/mm] $,
Gruß v. Angela
|
|
|
|
