Bearbeiten v. mehreren LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 24.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bearbeiten Sie die beiden LGS gleichzeitig.
2x +y = 1
5x +2y = 0
und
2x +y = 0
5x +2y = 1
mit dem Schema
[mm] \pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 5 & 2 & | & 0 & 1}
[/mm]
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Hallo,
ich habe die beiden LGS mal unabhängig von einander (d.h.) einzeln gelöst; und komme für LGS I auf x=-2; y=5 und für LGS II auf x=1 ; y=-2.
1. Mir ist neu, dass ich mehrere Spalten auf der rechten Seite habe. Und was ist da genau gemacht worden?
Erste Idee war, dass es vielleicht eine Verknüfung mit der Einheitsmatrix ist; scheint mir aber jetzt nicht wahrscheinlich.
2. Wie löse ich dann die Matrix? Wie interpretiere ich das Ergebnis?
[mm] \pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 5 & 2 & | & 0 & 1}
[/mm]
Idee: Dreiecksform
[mm] \pmat{ 10 & 5 & | & 5 & 0 \\ -10 & -4 & | & 0 & -2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 5 & -2}
[/mm]
Und falls das richtig ist, wie geht es dann weiter?
Danke & Gruß
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Also, zur besseren Übersicht schreibe ich die einzelnen LGS mal auf:
I) 2x+y=1
II) y=5
III) 2x+y=0
IV) y=-2
Man weiß also für die erste und dritte Gleichung jeweils den Wert Y.
Den setzt du nun ein und erhältst einen Wert für X.
Bsp.: 2x+5=1 /-5
2x=-4 /:2
x=-2
Das machst du dann mit dem anderen Y-Wert in der dritten Gleichung auch.
PS.: Warum man rechts zwei Spalten hat, kann ich mir auch nicht erklären.
Vielleicht soll man die auch noch über Kreuz rechnen?
Gibt es in der Aufgabenstellung noch einen anderen Hinweis?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:23 So 24.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
Danke Henrik,
ok, ich kann die beiden LGS getrennt von einander lösen.
Aber wie das gleichzeitig geht ist mir nicht klar. Die Frage ist daher noch offen.
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Hallo hase-hh
mein tipp wäre,dass du das Gaußsche Eleminierungsverfahren anwendest.> Bearbeiten Sie die beiden LGS gleichzeitig.
>
> 2x +y = 1
> 5x +2y = 0
>
> und
>
> 2x +y = 0
> 5x +2y = 1
>
>
> mit dem Schema
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 5 & 2 & | & 0 & 1}[/mm]
hier wendest du dieses Verfahren an.
das heißt ,dass du unten links wo die 5 steht 0 stehen muss und diagonal zu 5 steht die 1( gemeint ist die 1 vor dem Tennstrich) auch 0 stehen muss.dann hast du automatisch (gleichzeitig) rechts die jeweiligen x und y-Werte für die 1. und 2.Gleichung
MfG
Hasan
>
>
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> Hallo,
>
> ich habe die beiden LGS mal unabhängig von einander (d.h.)
> einzeln gelöst; und komme für LGS I auf x=-2; y=5 und für
> LGS II auf x=1 ; y=-2.
>
> 1. Mir ist neu, dass ich mehrere Spalten auf der rechten
> Seite habe. Und was ist da genau gemacht worden?
>
> Erste Idee war, dass es vielleicht eine Verknüfung mit der
> Einheitsmatrix ist; scheint mir aber jetzt nicht
> wahrscheinlich.
>
> 2. Wie löse ich dann die Matrix? Wie interpretiere ich das
> Ergebnis?
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 5 & 2 & | & 0 & 1}[/mm]
>
> Idee: Dreiecksform
>
> [mm]\pmat{ 10 & 5 & | & 5 & 0 \\ -10 & -4 & | & 0 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 5 & -2}[/mm]
>
> Und falls das richtig ist, wie geht es dann weiter?
ja das ist richtig,jetzt muss du nur noch oben diese 1(halt vor dem Trennstrich,diagonal zu 5) die 0 platzieren und schon hast du auch die x-und y-Werte für die 1.Gleichung.
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> Danke & Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 24.05.2009 | | Autor: | plutino99 |
Hallo
bin mir nicht sicher ob meine Mittelung ganz fehlerfrei ist.
sry
MfG
Hasan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 24.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
irgendwie ist meine Frage nicht beantwortet.
[mm] \pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 5 & 2 & |&0 &1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 10 & 5 &|&5 & 0\\ -10 & -4 & |&0 & -2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & 1 & |&5 & -2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & -1 & |&-5 & 2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 &|&-4 & 2\\ 0 & 1 & |&5 & -2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 &|&-2 & 1\\ 0 & 1 & |&5 & -2}
[/mm]
soweit kann ich die Matrix umformen, ok.
Was mir fehlt ist, wie kann ich die Ergebnisse interpretieren?
Mehrere Spalten auf der rechten Seite, was sagt das aus?
Wieso kann ich so eine Matrix überhaupt aufstellen?
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> Moin,
>
> irgendwie ist meine Frage nicht beantwortet.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 5 & 2 & |&0 &1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 10 & 5 &|&5 & 0\\ -10 & -4 & |&0 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & -1 & |&-5 & 2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 &|&-4 & 2\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 &|&-2 & 1\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
>
> soweit kann ich die Matrix umformen, ok.
>
> Was mir fehlt ist, wie kann ich die Ergebnisse
> interpretieren?
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
Du kannst hier ablesen, daß das Ergebnis des erstenGSs ist (letzte spalte zuhalten): [mm] x_1=-2, x_2=5,
[/mm]
und daß das Ergebnis des zweiten GSs ist (vorletzte Spalte zuhalten): [mm] x_1=1, x_2=-2.
[/mm]
>
> Mehrere Spalten auf der rechten Seite, was sagt das aus?
> Wieso kann ich so eine Matrix überhaupt aufstellen?
Naja, die beiden Spalten sind ja kein Wunder:
Normalerweise stellt man die erweiterte Koeffizientenmatrix auf, also die Koeffizientenmatrix + eine Spalte.
Da Du Dich entschieden hast, beide System gleichzeitig zu lösen, hast Du halt zwei Spalten rechts.
Du löst zwei Systeme simultan, aber so, wie man es immer macht: mit Gauß. Nichts besonderes eigentlich.
(Übrigens hast Du rechts jetzt die inverse Matrix zu der Startmatrix links stehen.)
Gruß v. Angela
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Hallo hase-hh,
> Moin,
>
> irgendwie ist meine Frage nicht beantwortet.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 5 & 2 & |&0 &1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 10 & 5 &|&5 & 0\\ -10 & -4 & |&0 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 &|&1 & 0\\ 0 & -1 & |&-5 & 2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 &|&-4 & 2\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 &|&-2 & 1\\ 0 & 1 & |&5 & -2}[/mm]
>
>
> soweit kann ich die Matrix umformen, ok.
>
> Was mir fehlt ist, wie kann ich die Ergebnisse
> interpretieren?
>
> Mehrere Spalten auf der rechten Seite, was sagt das aus?
>
> Wieso kann ich so eine Matrix überhaupt aufstellen?
Du hast eigentlich alles schon selbst erklärt:
eigentlich will man zu zwei LGS mit unterschiedlicher Ergebnisspalte die Lösung finden.
Statt nun die (identische) Rechnung zweimal durchzuführen (jedenfalls "links"), schreibt man die beiden Ergebnisvektoren nebeneinander rechts hin und wendet darauf Gauß an.
Das Ergebnis: wie beim getrennten Verfahren zwei Lösungsvektoren: [mm] \vektor{-2\\5} [/mm] und [mm] \vektor{1\\-2}
[/mm]
- nur schneller 
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 26.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
moin infomrix,
zunächst: hat mir ein satz über wunder leider in diesem zusammenhang nicht weitergeholfen.
ja, danke, das ganze ist jetzt klarer.
es wird also einfach eine spalte (ein vektor) an die matrix drangeklatscht. und das geht, weil die linke seite der beiden gleichungssysteme identisch sind.
ich habe eine verschiebung derart bisher nur bei unterbestimmten gleichungssystemen gesehen. dort kann man weitere spalten durch umformen auf die rechte seite bringen und das ganze dann mithilfe von parametern lösen. das ganze ist aber dann doch etwas anderes.
auch habe ich kennen gelernt, das umformen von matrizen mithilfe der einheitsmatrix zu der inversen matrix. das scheint hier zwar ein zufälliges ergebnis zu sein, hat aber an sich mit dem problem nichts zu tun.
soweit die zusammenfassung meiner gedanken, vielleicht wird dadurch nochmal klarer, warum ich gefragt habe.
danke & gruß
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