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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 21.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Seien A,B ∈ Matm(R) und T ∈ GLm(C) mit TAT^−1 = B.
a) Sei T = U + iV mit U,V ∈ Matm(R) und [mm] i^2 [/mm] = −1. Zeigen Sie, dass UA = BU und V A = BV .
b) Zeigen Sie, dass es für jedes Polynom P(X) [mm] ∈R[X]\{0} [/mm] ein λ ∈R mit P(λ) ungleich 0 gibt.
c) Beweisen Sie, dass es S ∈ GLm(R) mit SAS^−1 = B gibt. |
Hallo,
ich bitte dringend um Hilfe, bin mit dieser Aufgabe ziemlich überfordert.
Bei a) war mein Gedanke dass ich
BU = (TAT^-1)U so umformen können müsste, dass ich auf UA komme.
Mit [mm] T^1 [/mm] = [mm] (U^1 [/mm] + iV^-1)
jedoch führt das ins Nirgendwo und ich komme nie auf das richtige Ergebnis.
Bei b) scheitere ich schon der Fragestellung. Mir ist nicht ganz genau klar, was damit gemeint ist. Wenn P(/Lambda) ungleich 0, dann ist /Lambda ja kein Eigenwert von diesem Polynom?!
Bei c) weiss ich aus Versuchen mit 2x2 Matrizen, dass man T sowohl als eine Matrix(C), als auch eine Matrix(R) darstellen kann. Aber mir fehlt jede Idee für einen allgemeinen Beweis.
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Seien A,B ∈ Matm(R) und T ∈ GLm(C) mit TAT^−1 = B.
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> a) Sei T = U + iV mit U,V ∈ Matm(R) und [mm]i^2[/mm] = −1.
> Zeigen Sie, dass UA = BU und V A = BV .
Hallo,
es ist TAT^−1 = B,
also TA=BT.
Nun setze T=U+iV ein und ziehe Deine Schlüsse.
LG Angela
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> b) Zeigen Sie, dass es für jedes Polynom P(X) [mm]∈R[X]\{0}[/mm]
> ein λ ∈R mit P(λ) ungleich 0 gibt.
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> c) Beweisen Sie, dass es S ∈ GLm(R) mit SAS^−1 = B
> gibt.
> Hallo,
> ich bitte dringend um Hilfe, bin mit dieser Aufgabe
> ziemlich überfordert.
>
> Bei a) war mein Gedanke dass ich
>
> BU = (TAT^-1)U so umformen können müsste, dass ich auf UA
> komme.
> Mit [mm]T^1[/mm] = [mm](U^1[/mm] + iV^-1)
> jedoch führt das ins Nirgendwo und ich komme nie auf das
> richtige Ergebnis.
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> Bei b) scheitere ich schon der Fragestellung. Mir ist nicht
> ganz genau klar, was damit gemeint ist. Wenn P(/Lambda)
> ungleich 0, dann ist /Lambda ja kein Eigenwert von diesem
> Polynom?!
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> Bei c) weiss ich aus Versuchen mit 2x2 Matrizen, dass man T
> sowohl als eine Matrix(C), als auch eine Matrix(R)
> darstellen kann. Aber mir fehlt jede Idee für einen
> allgemeinen Beweis.
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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> b) Zeigen Sie, dass es für jedes Polynom P(X) [mm]∈R[X]\setminus\{0\}[/mm]
> ein λ ∈R mit [mm] P(\lambda)\not=0 [/mm] gibt.
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> Bei b) scheitere ich schon der Fragestellung. Mir ist nicht
> ganz genau klar, was damit gemeint ist. Wenn P(/Lambda)
> ungleich 0, dann ist /Lambda ja kein Eigenwert von diesem
> Polynom?!
Hallo,
nein, dann ist [mm] \lambda [/mm] natürlich kein Eigenwert.
Von Eigenwerten steht in Aufgabe b) auch nichts, auch nicht davon, daß P irgendetwas mit A oder B zu tun hat.
Da steht einfach nur, daß es für ein Polynom P aus [mm] \IR[X], [/mm] welches nicht das Nullpolynom ist, eine reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] gibt mit [mm] P(\lambda)\not=0.
[/mm]
Es gibt also eine Stelle, welche nicht Nullstelle ist.
Wie Du das löst, kommt darauf an, was über Polynome schon dran war.
LG Angela
>
> Bei c) weiss ich aus Versuchen mit 2x2 Matrizen, dass man T
> sowohl als eine Matrix(C), als auch eine Matrix(R)
> darstellen kann. Aber mir fehlt jede Idee für einen
> allgemeinen Beweis.
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Do 23.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo,
Vielen Dank für die Antwort.
A.) Hat geklappt.
B) war über den Satz, dass ein Polynom endlich viele Nullstellen besitzt möglich
Und C) hat sich aus a) und b) ergeben.
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Do 23.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Habe versucht die Frage als bewntwortet zu kennzeichnen, hat leider nicht geklappt!
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