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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basiswechsel / Det
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Basiswechsel / Det: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Do 08.07.2010
Autor: valoo

Heyho!

Ich habe da so eine Matrix:

[mm] \pmat{ D_{1,1} & ... & D_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ D_{n,1} & ... & D_{n,n} } [/mm]

wobei [mm] D_{i,j} [/mm] eine mxm-Diagonalmatrix ist mit dem Eintrag [mm] d_{i,j}. [/mm] Ich soll nun die Determinante ausrechnen. Die soll sein: [mm] (det(D))^{m} [/mm] wobei
[mm] D:=\pmat{ d_{1,1} & ... & d_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ d_{n,1} & ... & d_{n,n}} [/mm]
ist.

Deshalb versuche ich zu zeigen, dass das Ding ähnlich ist zu der Blockmatrix [mm] \pmat{ D & 0 & ...\\ 0 & ... & 0 \\ ... & 0 & D } [/mm]
Die Frage ist nur, wie sieht die Basiswechselmatrix dazu aus? Ist dem überhaupt so? Ich halt es für logisch und so könnte mans zumindest zeigen...

        
Bezug
Basiswechsel / Det: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Do 08.07.2010
Autor: Leopold_Gast

In der Praxis funktioniert das durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Ich habe einmal ein Beispiel gerechnet:

[mm]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \end{vmatrix}[/mm]

[mm]= - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}^3 = (-2)^3 = -8[/mm]

1a) Zunächst wurde die vierte Spalte mit der dritten, dann die dritte Spalte mit der zweiten vertauscht: 1+1=2 Vertauschungen.

1b) Ebenso wurde die vierte Zeile mit der dritten, dann die dritte Zeile mit der zweiten vertauscht: 1+1=2 Vertauschungen.


2a) Dann wurde die fünfte Spalte mit der vierten vertauscht: 1 Vertauschung.

2b) Ebenso wurde die fünfte Zeile mit der vierten vertauscht: 1 Vertauschung.


Insgesamt waren es 2+2+1+1 = 6 Vertauschungen.
Du kannst ja einmal probieren, ob sich das Verfahren verallgemeinern läßt und am Schluß zu einer geraden Anzahl von Vertauschungen führt.

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