Basiswechsel < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Fr 13.01.2012 | | Autor: | miff |
Hallo Liebe Gemeinde,
bis zum jetzigen Zeitpunkt war ich stiller Mitleser dieses Forums und bis hierhin habe ich immer eine Antwort auf meine Fragen bekommen. Jetzt habe ich mich allerdings mal angemeldet und möchte euch eine Frage bzgl. des Basiwechsel bzw.einer Transformation stellen.
Hier geht es schon los: Will mich mein Professort verwirren oder handelt es sich garnicht um dasselbe? Also Basiswechsel und Transformation?
Aber jetzt zur konkreten Aufgabe:
Ich habe in der Aufgabenstellung eine Basis gegeben (B1). Die Aufgabe selber besteht jetzt darin, eine Linearkombination eines Vektors x (a,b,c) mit B1 darzustellen. Ist es richtig, dass ich da erstmal nichts weiter machen muss, als den Vektor x quasi "hinter" B1 zu schreiben?
Des Weiteren soll ich die Koordinaten des Vektors x bzgl. B1 bestimmen. Hier muss ich die oben genannte Linearkombination doch einfach auflösen, die Werte, die herauskommen, sind doch die Koordinaten von x bzgl. B1.
Zu guterletzt soll ich die Koordinaten von x bzgl. der kanonischen Basis (E) ausrechnen. Liege ich richtig in der Annahme, dass die Koordinaten von x bzgl. E identisch sind? Wenn ich es entsprechend auflöse, erhalte ich doch nicht anderes, oder täusche ich mich?
Ich hoffe, ich habe mich klar ausgedrückt und ich erhalte eine Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal und noch einen angenehmen Tag.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Liebe Gemeinde,
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> bis zum jetzigen Zeitpunkt war ich stiller Mitleser dieses
> Forums und bis hierhin habe ich immer eine Antwort auf
> meine Fragen bekommen. Jetzt habe ich mich allerdings mal
> angemeldet und möchte euch eine Frage bzgl. des
> Basiwechsel bzw.einer Transformation stellen.
>
> Hier geht es schon los: Will mich mein Professort verwirren
> oder handelt es sich garnicht um dasselbe? Also
> Basiswechsel und Transformation?
>
> Aber jetzt zur konkreten Aufgabe:
>
> Ich habe in der Aufgabenstellung eine Basis gegeben (B1).
> Die Aufgabe selber besteht jetzt darin, eine
> Linearkombination eines Vektors x (a,b,c) mit B1
> darzustellen. Ist es richtig, dass ich da erstmal nichts
> weiter machen muss, als den Vektor x quasi "hinter" B1 zu
> schreiben?
Mir ist nicht klar, was Du damit meinst.
Sei [mm] B_1 =\{b_1,...,b_n\}.
[/mm]
Den Vektor x als Linearkombination der Elemente von [mm] B_1 [/mm] zu schreiben bedeutet: finde Elemente [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_n [/mm] im zugrunde liegenden Körper so, dass
(1) [mm] $x=s_1b_1+...+s_n b_n$
[/mm]
ist.
>
> Des Weiteren soll ich die Koordinaten des Vektors x bzgl.
> B1 bestimmen. Hier muss ich die oben genannte
> Linearkombination doch einfach auflösen, die Werte, die
> herauskommen, sind doch die Koordinaten von x bzgl. B1.
Die Koordinaten sind die Zahlen [mm] s_1,...,s_n [/mm] aus (1).
>
> Zu guterletzt soll ich die Koordinaten von x bzgl. der
> kanonischen Basis (E) ausrechnen. Liege ich richtig in der
> Annahme, dass die Koordinaten von x bzgl. E identisch sind?
Wenn Du meinst, dass die Koordinaten von x bzgl. E wieder die Zahlen [mm] s_1,...,s_n [/mm] aus (1) sind, so liegst Du schief !
FRED
> Wenn ich es entsprechend auflöse, erhalte ich doch nicht
> anderes, oder täusche ich mich?
>
>
> Ich hoffe, ich habe mich klar ausgedrückt und ich erhalte
> eine Antwort.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Danke schonmal und noch einen angenehmen Tag.
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Fr 13.01.2012 | | Autor: | miff |
| Aufgabe | [mm] \begin{Bmatrix}
3 & -4 & -2 \\
1 & 1 & 3\\
-5 & 2 & -4
\end{Bmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] |
So meine ich das. Den Vektor hinten dran schreiben (Linearkombination) und das GLS auflösen (Koordinatenberechnung des Vektors bzgl. der Basis)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\begin{Bmatrix}
3 & -4 & -2 \\
1 & 1 & 3\\
-5 & 2 & -4
\end{Bmatrix}[/mm]
Die Spalten sind also Deine Basis [mm] B_1.
[/mm]
Edit: ich sehe gerade, dass obige Vektoren linear abhängig sind !!!!
>
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Und das ist das x, ist das so gemeint ?
> So meine ich
> das. Den Vektor hinten dran schreiben (Linearkombination)
> und das GLS auflösen (Koordinatenberechnung des Vektors
> bzgl. der Basis)
Wenn ja, so mußt Du das LGS
[mm]\begin{pmatrix}
3 & -4 & -2 \\
1 & 1 & 3\\
-5 & 2 & -4
\end{pmatrix}[/mm][mm] *\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
lösen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Fr 13.01.2012 | | Autor: | miff |
Ja, die mangelnde Präzision tut mir leid. 
Aber das Ergebnis, welches dort jetzt konkret herauskommt, was ist das denn? Sofern die Basis linear unabhängig ist, bekomme ich 3 konkrete Werte für a,b und c heraus. Das Ergebnis hieraus ist doch die Koordinate vom Vektor x bezogen auf die Basis B. Oder täusche ich mich vollkommen?
Wenn das der Fall ist, und das funktioniert so. Dann wäre ein Vektor, dessen Koordinate ich bezogen auf die kanonische Basis herausfinden soll,doch identisch wie dem Vektor. In diesem Falle wäre doch die Koordinate von x bezogen auf die Kanonische Basis (-2,1,0)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die mangelnde Präzision tut mir leid.
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> Aber das Ergebnis, welches dort jetzt konkret herauskommt,
> was ist das denn? Sofern die Basis linear unabhängig ist,
Das ist jede Basis !! Aber ich habe gerade fest gestellt, dass [mm] B_1 [/mm] linear abhängig ist. [mm] B_1 [/mm] ist also keine Basis !
> bekomme ich 3 konkrete Werte für a,b und c heraus. Das
> Ergebnis hieraus ist doch die Koordinate vom Vektor x
> bezogen auf die Basis B. Oder täusche ich mich
> vollkommen?
Ja, wenn B eine Basis ist
>
> Wenn das der Fall ist, und das funktioniert so. Dann wäre
> ein Vektor, dessen Koordinate ich bezogen auf die
> kanonische Basis herausfinden soll,doch identisch wie dem
> Vektor. In diesem Falle wäre doch die Koordinate von x
Der Vektor ändert sich natürlich nicht. Nur seine Darstellung.
FRED
> bezogen auf die Kanonische Basis (-2,1,0)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 13.01.2012 | | Autor: | miff |
Das es linear abhängig ist, kann gut sein. Das habe ich jetzt nicht weiter berechnet. Es geht mir jetzt eher um das Prinzip, das Beispiel hatte ich nur genannt, da mein Ursprungstext offenbar nicht präzise genug war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das es linear abhängig ist, kann gut sein. Das habe ich
> jetzt nicht weiter berechnet. Es geht mir jetzt eher um das
> Prinzip, das Beispiel hatte ich nur genannt, da mein
> Ursprungstext offenbar nicht präzise genug war.
Mann, mann, mann, wie soll man denn über Basiswechsel und Koordinaten diskutieren, wenn in den Beispielen noch nicht mal eine Basis gegeben ist. Das ist doch für die Mülltonne.
Nimm an, Du willst von mir lernen, wie man ein tolles Rumpsteak zubereitet. Dann verabreden wir, dass Du zu mir kommst und Fleisch mitbringst. Du spazierst bei mir zur Haustür herein und sagst:" Fleisch hab ich keins dabei , aber eine alte Schuhsohle. Es geht ja nur ums Prinzip".
Toll. Lass Dirs schmecken.
FRED
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