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| Aufgabe | Die folgenden drei Vektoren des [mm] R^3 [/mm] seien gegeben:
[mm] v1=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } v2=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 3 } v3=\pmat{ 0 \\ 2 \\ -2 }
[/mm]
a) Sei [mm] \pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] der Koordinatorvektor eines Vektors u bezüglich der Basis v1,v2,v3. Bestimmen Sie u bezüglich der Standardbasis e1,e2,e3.
b) Sei [mm] w=\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }\varepsilon R^3 [/mm] Bestimmen Sie die Koordinaten von W bezüglich der Basis v1,v2,v3. |
Hallo, es wäre sehr nett, wenn jemand über meine Ergebnisse drüber schauen könnte. Habe den Stoff in der Vorlesung verpasst und bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob ich es auch zu 100% richtig verstanden habe.
Danke im voraus.
Ergebnisse/Rechenweg:
a) Hier muss man lediglich die Matrix aus v1,v2,v3 mit dem Spaltenvektor multiplizieren:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2 }*\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 }=\pmat{ -6 \\ 5 \\ -1 }
[/mm]
b) Hier muss man zuerst die Transformationsmatrix bilden aus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2} [/mm] und [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] => so umformen, dass die Einheitenmatrix auf der linken Seite steht => das ergibt: [mm] \pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}
[/mm]
und nun: [mm] \pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}*\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }=\pmat{ -1 \\ 8 \\ 7 }
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 So 28.08.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die folgenden drei Vektoren des [mm]R^3[/mm] seien gegeben:
> [mm]v1=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } v2=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 3 } v3=\pmat{ 0 \\ 2 \\ -2 }[/mm]
>
> a) Sei [mm]\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 }[/mm] der Koordinatorvektor eines
> Vektors u bezüglich der Basis v1,v2,v3. Bestimmen Sie u
> bezüglich der Standardbasis e1,e2,e3.
>
> b) Sei [mm]w=\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }\varepsilon R^3[/mm] Bestimmen
> Sie die Koordinaten von W bezüglich der Basis v1,v2,v3.
> Hallo, es wäre sehr nett, wenn jemand über meine
> Ergebnisse drüber schauen könnte. Habe den Stoff in der
> Vorlesung verpasst und bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob
> ich es auch zu 100% richtig verstanden habe.
>
> Danke im voraus.
>
> Ergebnisse/Rechenweg:
>
> a) Hier muss man lediglich die Matrix aus v1,v2,v3 mit dem
> Spaltenvektor multiplizieren:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2 }*\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 }=\pmat{ -6 \\ 5 \\ -1 }[/mm]
ja, es ist also [mm] $u=-6e_1+5e_2-e_3$
[/mm]
>
> b) Hier muss man zuerst die Transformationsmatrix bilden
> aus:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2}[/mm] und [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> => so umformen, dass die Einheitenmatrix auf der linken
> Seite steht => das ergibt: [mm]\pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}[/mm]
>
> und nun: [mm]\pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}*\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }=\pmat{ -1 \\ 8 \\ 7 }[/mm]
Du musst Dich irgendwo verrechnet haben, denn [mm] $-v_1+8v_2+7v_3\neq [/mm] w$
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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Ok habe den Fehler gefunden :)
Danke fürs Checken.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Fr 13.01.2012 | | Autor: | miff |
Hallo,
erstmal tut es mir leid, dass ich diesen alten Thread wieder auskrame, aber ich habe ein paar Fragen konkret zu dieser Aufgabe.
Ist es wirklich richtig, was da steht?
Also, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist doch in Aufgabe a) die Koordinate gesucht bzgl. der kanonischen Basis E3. Setze ich also den Vektor mit der kanonischen Basis gleich, erhalte ich doch die Koordinaten, die identisch sind mit dem Vektor.
In Teilaufgabe b) muss ich doch den gegebenen w mit v1,v2,v3 gleichsetzen und lösen. Das Ergebnis ist doch die Koordinate von w bzgl. v1,v2,v3? Ich muss doch in diesem Falle garkeine Transformationsmatrix bestimmen, oder?
Es wäre sehr nett, wenn jemand antworten könnte, der das bestätigen kann oder nicht.
Danke schonmal und einen schönen Tag.> Die folgenden drei Vektoren des [mm]R^3[/mm] seien gegeben:
> [mm]v1=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } v2=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 3 } v3=\pmat{ 0 \\ 2 \\ -2 }[/mm]
>
> a) Sei [mm]\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 }[/mm] der Koordinatorvektor eines
> Vektors u bezüglich der Basis v1,v2,v3. Bestimmen Sie u
> bezüglich der Standardbasis e1,e2,e3.
>
> b) Sei [mm]w=\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }\varepsilon R^3[/mm] Bestimmen
> Sie die Koordinaten von W bezüglich der Basis v1,v2,v3.
> Hallo, es wäre sehr nett, wenn jemand über meine
> Ergebnisse drüber schauen könnte. Habe den Stoff in der
> Vorlesung verpasst und bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob
> ich es auch zu 100% richtig verstanden habe.
>
> Danke im voraus.
>
> Ergebnisse/Rechenweg:
>
> a) Hier muss man lediglich die Matrix aus v1,v2,v3 mit dem
> Spaltenvektor multiplizieren:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2 }*\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 }=\pmat{ -6 \\ 5 \\ -1 }[/mm]
>
> b) Hier muss man zuerst die Transformationsmatrix bilden
> aus:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -2}[/mm] und [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> => so umformen, dass die Einheitenmatrix auf der linken
> Seite steht => das ergibt: [mm]\pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}[/mm]
>
> und nun: [mm]\pmat{ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3/2 & 1}*\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }=\pmat{ -1 \\ 8 \\ 7 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> erstmal tut es mir leid, dass ich diesen alten Thread
> wieder auskrame, aber ich habe ein paar Fragen konkret zu
> dieser Aufgabe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Einen alten Thread auszukramen, muß Dir nicht leid tun! Sie werden ja extra aufgehoben, damit sie von jedem, der sich für dasselbe Thema interessiert, angeschaut werden können.
>
> Ist es wirklich richtig, was da steht?
Da muß ich jetzt erstmal schauen.
Die Aufgabe war:
| Aufgabe | Aufgabe
Die folgenden drei Vektoren des $ [mm] R^3 [/mm] $ seien gegeben:
$ [mm] v1=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } v2=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 3 } v3=\pmat{ 0 \\ 2 \\ -2 } [/mm] $
a) Sei $ [mm] \pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] $ der Koordinatorvektor eines Vektors u bezüglich der Basis B:=(v1,v2,v3). Bestimmen Sie u bezüglich der Standardbasis E:=(e1,e2,e3).
b) Sei $ [mm] w=\pmat{ -2 \\ -2 \\ 10 }\varepsilon R^3 [/mm] $ Bestimmen Sie die Koordinaten von W bezüglich der Basis v1,v2,v3. |
>
> Also, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist doch
> in Aufgabe a) die Koordinate gesucht bzgl. der kanonischen
> Basis E3.
Gegeben ist u in Koordinaten bzgl B, nämlich [mm] u:=\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] _{(B)}
> Setze ich also den Vektor mit der kanonischen
> Basis gleich, erhalte ich doch die Koordinaten, die
> identisch sind mit dem Vektor.
??? Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Du hast zwei Möglichkeiten:
A.
Du weißt und schreibst [mm] u:=\pmat{ -3 \\ 1 \\ 2 } _{(B)}=-3v_1+1v_2+2v_3 [/mm] und rechnest das ganz normal aus.
B.
Du stellst die Basistransformationsmatrix [mm] _EM(id)_B [/mm] auf, welche Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl E verwandelt, und multiplizierst mit U.
Diesen Weg hat der Steppenwolf gewählt.
[mm] _EM(id)_B [/mm] ist die Matrix, die in ihren Spalten die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl E enthält, also einfach die drei gegebenen Vektoren.
>
> In Teilaufgabe b) muss ich doch den gegebenen w mit
> v1,v2,v3 gleichsetzen und lösen.
Versuche unbedingt, präziser zu formulieren. Man verstaht nicht, was Du meinst.
Du hast auch hier zwei Möglichkeiten:
A.
Du suchst (=berechnest) Koeffizienten [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] mit [mm] w=\lambda v_1+\mu v_2+\nu v_3.
[/mm]
Dann ist [mm] w=\vektor{\lambda\\\mu\\\nu}_{(B)}.
[/mm]
B.
Du arbeitest wie in Aufg. a) mit der passenden Transformationsmatrix, mit [mm] _BM(id)_E, [/mm] welche Vektoren bzgl E in solche bzgl B umwandelt.
Es ist [mm] _BM(id)_E=(_EM(id)_B)^{-1}.
[/mm]
> Das Ergebnis ist doch die
> Koordinate von w bzgl. v1,v2,v3?
Wenn man alles richtig gemacht hat, hatman den Koordinatenvektor von w bzgl [mm] B=(v_1, v_2, v_3).
[/mm]
>Ich muss doch in diesem
> Falle garkeine Transformationsmatrix bestimmen, oder?
Du mußt es nicht, aber ein möglicher Weg ist es schon.
LG Angela
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