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Basiswechsel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Fr 19.06.2009
Autor: itse

Aufgabe
Bezüglich der kanonischen Basis des IR² ist gegeben:

[mm] b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}, b_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] sowie: [mm] a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

Betrachtung der neuen Basis B = [mm] (b_1, b_2): [/mm]

a, Wie lauten die Koordinaten von a bezüglich B?
b, Wenn ein Vektor bezüglich B die Koordinaten (3, [mm] -1)^t [/mm] hat, wie lauten sie dann in der (alten Basis)?

Hallo Zusammen,

ich habe es folgendermaßen gelöst, als erstes gilt ja:

a, Jeder Vektor der Basis B lässt sich als Linearkombination aus den Basisvektoren darstellen. Somit kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen, bei dem die Lösung der Koeffizienten, die neuen Koordianten des Vektors a bezüglich der Basis B sind:

[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = x [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + y [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

->

8x - 5y = 1
-3x+2y = 2

Wenn ich diese LGS löse erhalte ich für x = 12 und y = 19

Also lauten die neuen Koordinaten bezüglich der Basis B [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ 19 \end{pmatrix} [/mm]

Eine alternative Methode wäre noch: neue Koordinaten = [mm] B^{-1} \cdot{} [/mm] alte Koordianten


b, Nun genau anders herum von der Basis B =  [mm] \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} [/mm] zur Standardbasis =  [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm]


Also würde doch folgender Ansatz funktionieren:

[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + (-1) [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]

Somit würden sich folgende Koordinaten ergeben: [mm] \begin{pmatrix} 29 \\ -11 \end{pmatrix} [/mm] bezüglich der Standardbasis.

Stimmt diese Lösung?

Was bedautet denn das t bei den Koordinaten (3, [mm] -1)^t? [/mm] Das Transponierte einer Matrix wird mit einem großen T normiert.

Gruß
itse

        
Bezug
Basiswechsel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Fr 19.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Bezüglich der kanonischen Basis des IR² ist gegeben:
>  
> [mm]b_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}, b_2[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] sowie:
> [mm]a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Betrachtung der neuen Basis B = [mm](b_1, b_2):[/mm]
>  
> a, Wie lauten die Koordinaten von a bezüglich B?
>  b, Wenn ein Vektor bezüglich B die Koordinaten (3, [mm]-1)^t[/mm]
> hat, wie lauten sie dann in der (alten Basis)?
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich habe es folgendermaßen gelöst, als erstes gilt ja:
>  
> a, Jeder Vektor der Basis B lässt sich als
> Linearkombination aus den Basisvektoren darstellen. Somit
> kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen, bei dem die
> Lösung der Koeffizienten, die neuen Koordianten des Vektors
> a bezüglich der Basis B sind:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] = x [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> + y [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> ->
>  
> 8x - 5y = 1
>  -3x+2y = 2
>  
> Wenn ich diese LGS löse erhalte ich für x = 12 und y = 19
>  
> Also lauten die neuen Koordinaten bezüglich der Basis B
> [mm]\begin{pmatrix} 12 \\ 19 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Eine alternative Methode wäre noch: neue Koordinaten =
> [mm]B^{-1} \cdot{}[/mm] alte Koordianten

Hallo,

ja, alles richtig.


>  
>
> b, Nun genau anders herum von der Basis B =  
> [mm]\begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}[/mm] zur Standardbasis =  
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> Also würde doch folgender Ansatz funktionieren:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] = 3 [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> + (-1) [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Somit würden sich folgende Koordinaten ergeben:
> [mm]\begin{pmatrix} 29 \\ -11 \end{pmatrix}[/mm] bezüglich der
> Standardbasis.
>  
> Stimmt diese Lösung?

Ja.

>  
> Was bedautet denn das t bei den Koordinaten (3, [mm]-1)^t?[/mm] Das
> Transponierte einer Matrix wird mit einem großen T
> normiert.

... normiert? Nein, es wird so bezeichnet. Oder gekennzeichnet.

Und manchmal (eigentlich ziemlich oft) auch mit einem  kleinen t. Mit den Bezeichnungen muß man etwas flexibel sein. (Die Alternative: man wird wahnsinnig.)
Das soll einfach ein Spaltenvektor sein, aus Bequemlichkeit und Platzspargründen schreiben sie das Transponierte auf.

Gruß v. Angela



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