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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 24.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit der Standardbasis C sowie der Basis
C'= [mm] {\vektor{5 \\ 7} , \vektor{7 \\ 10}}.
[/mm]
Geben sie die Basistransformationsmatrix für den Basiswechsel von C nach C' an. |
Hab jetzt mal die restlichen Aufgabenteile weggelassen, weil die im Grunde genauso sind. Aber ich komm vom prinzip her nicht mit dem Bestimmen von dem Ding klar. :-(
Laut unserer Definion muss ja [mm] c_{j}' [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2} t_{i,j} [/mm] * [mm] c_{i} [/mm] sein, wobei [mm] t_{i,j} [/mm] die Matrix in der i-ten zeile und j-ten Spalte ist.
Also muss ja:
[mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] = [mm] \pmat{ t_{1,1} & t_{1,2} }*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{ t_{2,1} & t_{2,2} }*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{7 \\ 10} [/mm] = [mm] \pmat{ t_{1,1} & t_{1,2} }*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{ t_{2,1} & t_{2,2} }*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Dann komm ich doch aber auf:
[mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] = [mm] t_{1,1} [/mm] + [mm] t_{2,2}
[/mm]
[mm] \vektor{7 \\ 10} [/mm] = [mm] t_{1,1} [/mm] + [mm] t_{2,2}
[/mm]
Was bringt mir das jetzt? Oder wie muss ich überhaupt da rangehen?
Wär lieb, wenn ihr mir helfen würdet.
MfG
Tobi
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Hallo DonTobi,
> Wir betrachten den Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit der Standardbasis C
> sowie der Basis
> C'= [mm]{\vektor{5 \\ 7} , \vektor{7 \\ 10}}.[/mm]
> Geben sie die
> Basistransformationsmatrix für den Basiswechsel von C nach
> C' an.
> Hab jetzt mal die restlichen Aufgabenteile weggelassen,
> weil die im Grunde genauso sind. Aber ich komm vom prinzip
> her nicht mit dem Bestimmen von dem Ding klar. :-(
>
> Laut unserer Definion muss ja [mm]c_{j}'[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{2} t_{i,j}[/mm]
> * [mm]c_{i}[/mm] sein, wobei [mm]t_{i,j}[/mm] die Matrix in der i-ten zeile
> und j-ten Spalte ist.
>
> Also muss ja:
>
> [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] = [mm]\pmat{ t_{1,1} & t_{1,2} }*\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\pmat{ t_{2,1} & t_{2,2} }*\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vektor{7 \\ 10}[/mm]
> = [mm]\pmat{ t_{1,1} & t_{1,2} }*\vektor{1 \\ 0}[/mm] + [mm]\pmat{ t_{2,1} & t_{2,2} }*\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Dann komm ich doch aber auf:
> [mm]\vektor{5 \\ 7}[/mm] = [mm]t_{1,1}[/mm] + [mm]t_{2,2}[/mm]
> [mm]\vektor{7 \\ 10}[/mm] = [mm]t_{1,1}[/mm] + [mm]t_{2,2}[/mm]
>
> Was bringt mir das jetzt? Oder wie muss ich überhaupt da
> rangehen?
>
> Wär lieb, wenn ihr mir helfen würdet.
Laut Definition komme ich auf:
[mm]\begin{gathered}
c_{1}^{'} \; = \;t_{1,1} \;c_1 \; + \;t_{2,1} \;c_2 \hfill \\
c_{2}^{'} \; = \;t_{1,2} \;c_1 \; + \;t_{2,2} \;c_2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 24.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Hm...Blöder Denkfehler dann von mir...
Stimmt es dann, dass die Transformationsmatrix
[mm] \pmat{ 5 & 7 \\ 7 & 10 }
[/mm]
ist?
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Hallo DonTobi,
> Hm...Blöder Denkfehler dann von mir...
> Stimmt es dann, dass die Transformationsmatrix
> [mm]\pmat{ 5 & 7 \\ 7 & 10 }[/mm]
> ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 24.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Ah, ok! Super, danke. Dann weiß ich ja, was ich beim Rest zu tun hab. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 24.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
leider sehe ich die Sache hier anders:
(man möge meinen Gedanken bitte nochmals prüfen)
es ist die  Transformationsmatrix von C nach C' gesucht,
d.h. wenn man einen Vektor bzgl Basisdarstellung C reinsteckt, soll einer bzgl Basisdarstellung C' rauskommen.
Also wenn ich [mm] $\vektor{5\\7}$ [/mm] reinstecke (ist bzgl C gegeben)
soll [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] rauskommen (denn dies ist ja der erste Basisvektor von C')
D.H. die oben genannte Formel ist zur Berechnung der Trafo-Matrix von C' nach C bestimmt, oder ?!?
Wie man dem obigen Link entnehmen kann, muss man die gefundene Matrix noch invertieren, dann stimmt es..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 24.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> ne...die Standardbasis ist C und nicht C'...
dies ist mir schon klar,
aber der Vektor [mm] $\vektor{5\\7}$ [/mm] hat in Basisdarstellung von C' die KOORDINATEN [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und diese müssen rauskommen, wenn man den ersten Vektor reinsteckt...
ich sag's nochmal anders:
[mm] $\vektor{5\\7}$ [/mm] ist der erste Basisvektor von C' in Basisdarstellung von C
[mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] ist der erste Basisvektor von C' in Basisdarstellung von C'
also : [mm] $\vektor{5\\7}$ [/mm] reinstecken und [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] rausbekommen.
schau doch mal genau nach, bei der Definition, die du angegeben hast, ob da die TrafoMatrix von C nach C' oder wie hier von C' nach C gebildet wird...
grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mi 25.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
Hm, ich weiß jetzt nicht genau, wie du das mit reinstecken und rauskommen meinst.
Aber...Wir hatte noch einen Satz:
S ist BTM von [mm] B={b_{1}...b_{n}} [/mm] nach [mm] B'={b_{1}'...b_{n}'}
[/mm]
Vektor v hat bzgl. B die Koord. [mm] \vektor{ \beta_{1}\\.\\.\\.\\ \beta_{n}} [/mm] und Bzgl. B' die Koord. [mm] \vektor{ \beta'_{1}\\.\\.\\.\\ \beta'_{n}} [/mm]
Dann gilt:
[mm] \vektor{ \beta_{1}\\ . \\ . \\ . \\ \beta_{n}} [/mm] = S * [mm] \vektor{ \beta'_{1}\\ . \\ . \\ . \\ \beta'_{n}} [/mm]
Also... Hier hat [mm] \vektor{5 \\ 7} [/mm] bzgl. B' die Koord. [mm] \vektor{1 \\ 0}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 5 & 7 \\ 7 & 10 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 7}
[/mm]
Passt doch oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:41 Mi 25.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Hm, ich weiß jetzt nicht genau, wie du das mit reinstecken
> und rauskommen meinst.
stimmt, also reinstecken meine ich von rechts an eine Matrix A multiplizieren und rausbekommen dann das Ergebnis, denn A definiert ja eine lineare Abbildung [mm] f_A [/mm] , deshalb ist [mm] $f_A(v)=A*v=w$
[/mm]
dann wird v reingesteckt und man bekommt w heraus...
> Aber...Wir hatte noch einen Satz:
> S ist BTM von [mm]B={b_{1}...b_{n}}[/mm] nach [mm]B'={b_{1}'...b_{n}'}[/mm]
> Vektor v hat bzgl. B die Koord. [mm]\vektor{ \beta_{1}\\.\\.\\.\\ \beta_{n}}[/mm]
> und Bzgl. B' die Koord. [mm]\vektor{ \beta'_{1}\\.\\.\\.\\ \beta'_{n}}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]\vektor{ \beta_{1}\\ . \\ . \\ . \\ \beta_{n}}[/mm] = S *
> [mm]\vektor{ \beta'_{1}\\ . \\ . \\ . \\ \beta'_{n}}[/mm]
>
ja, aber !
hier wird doch ein Vektor bzgl B' durch S umgewandelt in denselben Vektor bzgl B, also ist S eine BTM von B' nach B...
Aber naja, wenn ihr es wirklich sorum definiert haben solltet, dann wäre alles richtig.
Jedoch ist diese Form der Definition irgendwie widersinnig und gänzlich nicht Standard.
aber naja,
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 25.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Hallo!
Ich denke, dass du deine Formel für das erstellen dieser Transformationsmatrix schon falsch aufgestellt hast.
Wenn man die Transformationsmatrix des Basiswechsels von C zu C' möchte dann erhält man die Formel:
[mm] c_{j}= \summe_{i=1}^{2} t_{ij}*c'_{i} [/mm] (da Basiswechsel VON C NACH C')
und nicht
[mm] c'_{j}=\summe_{i=1}^{2} t_{ij} *c_{i}.
[/mm]
und somit erhälst du durch einsetzen die [mm] T_{C'C} [/mm] = [mm] \pmat{ 10 & -7 \\ -7 & 5 }
[/mm]
Schaus dir nochmal an. Vielleicht liege ich ja damit auch falsch!
Liebe Grüße, Lydia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 25.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Lydia,
schön, dass du dich mit einbringst.
Deine Matrix ist die Inverse zu der gegebenen und wie ich bereits schon erklärt hatte hier im Thread scheint bei Tobi in der Vorlesung es genau andersrum definiert worden zu sein (oder er hat es falsch abgeschrieben)
Jedenfalls stimme ich mit dir überein, dass es eigentlich (Standard-mäßig) sein sollte, wie wir es gesagt und du gezeigt hast.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Do 26.01.2006 | | Autor: | DonTobi |
In der Vorlesung kam gestern nochmal ein Beispiel ran, wo es dann so gemacht wurde, wie ich es hatte. Anscheinend haben wir es dann wirklich einfach nur entgegen der Norm definiert.
Danke für eure Hilfe und Bemühungen! :)
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